高中数学竞赛讲义-三角恒等式与三角不等式 新人教A版.doc

9三角恒等式与三角不等式三角恒等变形，既要遵循代数式恒等变形的一般法则，又有三角所特有的规律. 三角恒等式包括绝对恒等式和条件恒等式两类证明三角恒等式时，首先要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的繁简程度，以决定恒等变形的方向；其次要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的角、函数名称、次数以及结构的差别与联系，抓住其主要差异，选择恰当的公式对其进行恒等变形，从而逐步消除差异，统一形式，完成证明.“和差化积”、“积化和差”、“切割化弦”、“降次”等是我们常用的变形技巧当然有时也可以利用万能公式“弦化切割”，将题目转化为一个关于的代数恒等式的证明问题.万能公式相除相除相除积化和差和差化积相加减 要快捷地完成三角恒等式的证明，必须选择恰当的三角公式. 为此，同学们要熟练掌握各公式及各公式的来龙去脉和变形形式. 上图为三角公式脉络图，由图可见两角和差的三角函数的公式是所有三角公式的核心和基础. 此外，三角是代数与几何联系的“桥梁”，与复数也有紧密的联系，因而许多三角问题往往可以从几何或复数角度获得巧妙的解法. 三角不等式首先是不等式，因此，要掌握证明不等式的常用方法：配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、数学归纳法等. 其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图象特征等都是处理三角不等式的锐利武器. 三角形中有关问题也是数学竞赛和高考的常见题型. 解决这类问题，要充分利用好三角形内角和等于180这一结论及其变形形式. 如果问题中同时涉及边和角，则应尽量利用正弦定理、余弦定理、面积公式等进行转化，实现边角统一. 求三角形面积的海伦公式，大家往往不甚熟悉，但十分有用.例题讲解1．已知2．证明：3．求证：4．已知5．证 明：6．求证：① ②sin1sin2sin3…sin89=7．证明：对任一自然数n及任意实数为任一整数），有 8．证明：9．若，求证：10．已知，证明：，并讨论等号成立的条件。

11．已知，能否以，，的值为边长，构成三角形12．在△中，角、、的对边为、、，求证：13．在锐角△中，求证（1）；（2）14．设，且，求乘积的最大值和最小值例题答案：１．分析：条件涉及到角、，而结论涉及到角，.故可利用消除条件与结论间角的差异，当然亦可从式中的“A”入手.证法1： 证法2： ２．分析：等号左边涉及角7x、5x、3x、x右边仅涉及角x，可将左边各项逐步转化为、的表达式，但相对较繁. 观察到右边的次数较高，可尝试降次.证明：因为 从而有 评述：本题看似“化简为繁”，实质上抓住了降次这一关键，很是简捷. 另本题也可利用复数求解. 令，展开即可.３．思路分析：等式左边同时出现、，联想到公式.证明： 评述：本题方法具有一定的普遍性. 仿此可证 等.、４．证明：５．证明： 评述：这是三倍角的正弦的又一表示. 类似地，有 . 利用这几个公式可解下例.6. 证明：①cos6cos42cos66cos78 =cos6cos54cos66 ②sin1sin2sin3…sin89=(sin1sin59sin61)(sin2sin58sin62)…(sin29sin31sin89)sin30sin60=又 即 所以 7. 思路分析：本题左边为n项的和，右边为2项之差，故尝试将左边各项“裂”成两项之差，并希冀能消去其中许多中间项.证明： 同理 …… 评述：①本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得.②“裂项相消”在解题中具有一定的普遍性，类似可证下列各题：.8. 证明： 所以，评述：①本题也可借助复数获证. ②类似地，有 利用上述公式可快速证明下列各式： - 8 -用心 爱心 专心。