知识讲解_空间向量在立体几何中的应用(提高)[整理].pdf

空间向量在立体几何中的应用空间向量在立体几何中的应用 【【考纲要求考纲要求】】 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及 其坐标表示. 2. 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 3. 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 4. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. 5. 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理. 6. 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向 量方法在研究几何问题中的作用. 【【知识网络知识网络】】 空间向量的 定义与运算 空间向量运 算几何意义 空间向量的坐 标表示及运算 应用空间向量的 运算解决立几问题 证明平 行、垂直 求空间角 与距离 【【考点梳理考点梳理】】 要点一、空间向量要点一、空间向量 1.1.空间向量的概念空间向量的概念 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 要点诠释：要点诠释： 空间的一个平移就是一个向量 向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量相等向量只 考虑其定义要素：方向，大小。

空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2.2.共线向量共线向量 （1）定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做 共线向量或平行向量平行于记作当我们说向量、共线（或//）时，表a b ba //a b a b 示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线a b （2）共线向量定理：空间任意两个向量、（） ，//的充要条件是存在实数a b b 0 a b ，使a b 1 / 21 Remove Demo Watermark from 3.3.向量的数量积向量的数量积 （1）定义：已知向量，则叫做的数量积，记作，即, a b || || cos,aba b , a b a b a b || || cos,aba b （2）空间向量数量积的性质： ；||cos,a eaa e ；0aba b 2 ||aa a （3）空间向量数量积运算律： ；()()()aba bab （交换律） ；a bb a （分配律） )abca ba c 4.4.空间向量基本定理空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，, ,a b c p , ,x y z 使。

若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫pxaybzc , ,a b c , , a b c , ,a b c 做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 5.5.空间直角坐标系：空间直角坐标系： （1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 ，这个基底叫单位正交基底，用1 表示； , , i j k （2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方O , , i j k O, ,i j k 向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角xyz 坐标系，点叫原点，向量 都叫坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫坐标平OxyzO, ,i j k 面，分别称为平面，平面，平面；xOyyOzzOx 6.6.空间直角坐标系中的坐标空间直角坐标系中的坐标 在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使OxyzA( , , )x y z ，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记OAxiyjzk ( , , )x y zAOxyz 作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标( , , )A x y zxyz 7.7.空间向量的直角坐标运算律：空间向量的直角坐标运算律： （1）若，，则 111 ( ,,)A x y z 222 (,,)B xyz 212121 (,,)ABxx yy zz 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐 2 / 21 标。

（2）若，，则 123 (,,)aa a a 123 ( ,,)bb b b ， 112233 (,,)abab ab ab ， 112233 (,,)abab ab ab ， 123 (,,)()aaaaR ， 1 1223 3 a baba ba b ， 112233 //,,()abab ab abR ； 1 1223 3 0ababa ba b ， 222 123 ||aa aaaa 222 123 ||bb bbbb 夹角公式： 1 1223 3 222222 123123 cos || || aba ba ba b a b ab aaabbb （3）两点间的距离公式：若，，则 111 ( ,,)A x y z 222 (,,)B xyz 2 222 212121 ||()()()ABABxxyyzz 或 222 ,212121 ()()() A B dxxyyzz 要点二、空间向量在立体几何中的应用要点二、空间向量在立体几何中的应用 1. 立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明 对于垂直问题，一般是利用进行证明；0aba b 对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明 2.利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便其一般方法是将所求 的角转化为求两个向量的夹角或其补角，而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式 。

cos || || a b ab 要点诠释：要点诠释： 平面的法向量的求法：平面的法向量的求法： 设 n=(x,y,z)，利用 n 与平面内的两个不共线的向 a，b 垂直，其数量积为零，列出两个三 元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面的一个法向量（如图） 3 / 21 线线角的求法：线线角的求法： 设直线 AB、CD 对应的方向向量分别为 a、b，则直线 AB 与 CD 所成的角为 （注意：线线角的范围00,900） || arccos || || a b ab 线面角的求法：线面角的求法： 设 n 是平面的法向量，是直线 的方向向量，则直线 与平面所成的角为AB ll （如图） || arcsin || || AB n ABn 二面角的求法：二面角的求法： 设 n1，，n2分别是二面角的两个面，的法向量，则l 就是二面角的平面角或其补角的大小（如图） 12 12 12 ,arccos || || n n n n nn 3.用向量法求距离的公式 设 n 是平面的法向量，AB 是平面的一条斜线，则点 B 到平面的距离为 （如图） 。

|| || AB n n 4 / 21 要点诠释：要点诠释： 点 A 到平面的距离： ，其中，是平面的法向量 || AB n d n Bn 直线与平面之间的距离：a ，其中，是平面的法向量 || AB n d n ,Aa Bn 两平行平面之间的距离：, ，其中， 是平面的法向量 || AB n d n ,ABn 【【典型例题典型例题】】 类型一、空间向量的运算类型一、空间向量的运算 【例 1】已知=（2，2，1） ，=（4，5，3） ，求平面 ABC 的单位法向量AB AC 【答案】单位法向量=（，，）. 0 || n n n 3 1 3 2 3 2 【解析】设面ABC的法向量，则 且，即( , , )nx y z n ABn AC ，即，解得， 0 0 n AB n AC 220 4530 xyz xyz 2, , xz yz 令，则1x (1, 2,2)n 单位法向量=（，，）. 0 || n n n 3 1 3 2 3 2 【总结升华】一般情况下求法向量用待定系数法。

由于法向量没规定长度，仅规定了方向， 所以有一个自由度，可把的某个坐标设为 1，再求另两个坐标平面法向量是垂直于平面的n 向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本题的单位法向量应有两解 举一反三：举一反三： 【变式】若(1,5,1)，(2,3,5)ab （1）若，求实数k的值； //3kabab （2）若，求实数k的值； 3kabab 5 / 21 （3）若取得最小值，求实数k的值bak 【答案】 (1) //3kabab ，即 3kabab 设(2,53,5)(7 , 4 , 16 )kkk 由，解得； 27 534 516 k k k 1 3 k (2)， 3kabab 30kabab ，(2,53,5) (7, 4, 16)0kkk 即，解得；31060k 106 3 k (3) kab 2222 (2)(53)(5)271638kkkkk 当时，取得最小值 8 27 k kab 类型二：向量法证明平行或垂直类型二：向量法证明平行或垂直 【例 2】如图，在四棱锥中，底面四边长为 1 的菱形，, OABCDABCD 4 ABC , ,为的中点，为的中点OAABCD 平平2OA MOANBC N M A B D C O （）证明：直线；MNOCD平平 （）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小； （）求点 B 到平面 OCD 的距离。

【解析】作于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为轴建立坐标系APCD, ,x y z 6 / 21 xy z N M A B D C O P , 22222 (0,0,0), (1,0,0), (0,,0),(,,0),(0,0,2),(0,0,1),(1,,0) 22244 ABPDOMN (1) 22222 (1,, 1),(0,, 2),(,, 2) 44222 MNOPOD 设平面 OCD 的法向量为,则( , , )nx y z 0,0n OPn OD 即 2 20 2 22 20 22 yz xyz 取,解得2z (0,4,2)n 22 (1,, 1) (0,4,2)0 44 MN n MNOCD平平 (2)设与所成的角为,ABMD 22 (1,0,0),(,, 1) 22 ABMD , 与所成角的大小为 1 cos, 23 AB MD ABMD ABMD 3 (3)设点 B 到平面 OCD 的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,ddOB (0,4,2)n 由 , 得.(1,0, 2)OB 2 3 OB n d n 所以点 B 到平面 OCD 的距离为 2 3 7 / 21 【总结升华】1. 用向量证明线面平行的方法有： (1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直； (2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行； (3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示 2. 用向量法证垂直问题： (1)证明线线垂直，只需证明两直线的方向向量数量积为 0； (2)证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判 定定理转化为证明线线垂直； (3)证明面面垂直，只需证明两平面的法向量的数量积为 0，或利用面面垂直的判定定理转 化为证明线面垂直 举一反三：举一反三： 【变式】如图，已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC 为等腰直角三角形， BAC90，且 ABAA1，D、E、F 分别为 B1A、C1C、BC 的中点求证： (1)DE平面 ABC； (2)B1F平面 AEF. 【解析】如图建。