2022年高中数学北师大版选修4-4同步配套教学案：第二章 §4 平摆线和渐开线.doc

2022年高中数学北师大版选修4-4同步配套教学案：第二章 §4 平摆线和渐开线1．平摆线(1)平摆线的概念：一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作平摆线(或旋轮线)．(2)摆线的参数方程：①定点M在滚动过程中满足的几何条件：在平面直角坐标系中，设圆的半径为r，圆在x轴上滚动，开始时点M在原点O(如图)．设圆转动的角度为α时，圆和x轴的切点是S，圆心是N，M的坐标为(x，y)，取角度α为参数．连接NM，NS，过M作x轴的垂线MP，垂足为点P，过M作NS的垂线MQ，垂足为Q.因为∠MNQ＝α，所以OS＝＝rα.这就是圆周上的定点M在圆N沿直线滚动过程中满足的几何条件．②摆线的参数方程：如图(1)，由①分析可得：x＝OP＝OS－PS＝－MQ＝rα－rsin α＝r(α－sin α)，y＝PM＝SQ＝SN－QN＝r－rcos α＝r(1－cos α)．图(1)所以摆线的参数方程是(－∞<α<＋∞)．2．渐开线(1)渐开线的相关概念：把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上，将铅笔系在绳的外端，把绳拉紧逐渐地展开，要求绳的拉直部分和圆保持相切，此时，我们把笔尖画出的曲线叫作圆的渐开线，相应的定圆叫作渐开线的基圆．(2)渐开线的参数方程：①动点(笔尖)所满足的几何条件：如图(2)，我们把圆盘抽象成一个圆，把铅笔尖抽象成一个动点M，它的初始位置记作A，绳子离开圆盘的位置记作B，随着绳子逐渐展开，动点B从点A出发在圆周上运动，动点M满足以下条件：(Ⅰ)MB与圆相切于B；(Ⅱ)MB的长度与B在圆周上走过的弧长相等，即MB＝.图(2)　　　　　　　　　　　图(3)②渐开线的参数方程：如图(3)，以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系．设圆的半径为r，则动点M的初始位置A的坐标为(r,0)，设动点M的坐标为(x，y)，φ是以OA为始边、OB为终边的正角，令φ为参数，此时的弧长为rφ.作ME⊥Ox，BC⊥Ox，垂足分别为E，C；作MD⊥BC，垂足为D，则∠MBD＝∠AOB＝φ，由此可得圆的渐开线的参数方程是：(其中φ是参数)．1．在摆线的参数方程中α的取值范围是什么？提示：α的取值范围为(－∞，＋∞)2．在图(1)中点O，E间的部分所成拱的宽度和高度各是多少？提示：这一个拱的宽度等于滚动圆的周长2πr，拱高等于圆的直径2r.其中r为滚动圆的半径．[对应学生用书P35]求圆的平摆线、渐开线的参数方程[例1]　已知一个圆的平摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该平摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．[思路点拨]　本题考查圆的平摆线和渐开线参数方程的求解，解答此题，根据圆的平摆线的参数方程(α为参数)和渐开线的参数方程(φ为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出r的表达式，根据表达式求出r的最大值，再确定对应的平摆线和渐开线的参数方程即可．[精解详析]　令y＝0，可得r(1－cos α)＝0，由于r>0，即得cos α＝1，所以α＝2kπ(k∈Z)．代入x＝r(φ－sin φ)，而φ＝α得x＝r(2kπ－sin2kπ)．又因为x＝2，所以r(2kπ－sin2kπ)＝2，即得r＝(k∈Z)．又由实际可知r>0，所以r＝(k∈N＋)易知，当k＝1时，r取最大值为.代入即可得圆的平摆线的参数方程为(α为参数)．圆的渐开线的参数方程为(φ为参数)．根据已知条件求圆的平摆线及渐开线的参数方程，关键记住推导圆的平摆线、渐开线的参数方程的过程及得到的方程，确定出待定系数即可．1．基圆直径为10，求其渐开线的参数方程．解：取φ为参数，φ为基圆上点与原点的连线与x轴正方向的夹角．∵直径为10，∴半径r＝5.代入圆的渐开线的参数方程得：(φ为参数)．这就是所求的圆的渐开线的参数方程.圆的平摆线、渐开线参数方程的应用[例2]　设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y的最大值，说明该曲线的对称轴．[思路点拨]　本题考查圆的平摆线参数方程的应用，解答此题需要根据(α为参数)，确定出r，α的值，再求y的最值及对称轴即可．[精解详析]　轨迹曲线的参数方程为(0≤α≤2π)，即α＝π时，即x＝8π时，y有最大值16.第一拱(0≤α≤2π)的对称轴为x＝8π.1．根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母r是指基圆的半径，而参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点P相对于圆心的张角．如图，其中的∠AOB即是角φ.显然点P由参数φ唯一确定．在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单．2．根据圆的平摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r是指定圆的半径，参数α是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程．当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况．2．给出圆的渐开线的参数方程(φ为参数)．根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是______，当参数φ取时对应的曲线上的点的坐标是________．解析：所给的圆的渐开线的参数方程可化为所以基圆半径r＝4.然后把φ＝代入方程，可得即所以当参数φ取时，对应的曲线上的点的坐标是(2π，4)．答案：4　(2π，4)[对应学生用书P36]一、选择题1.如图为圆的渐开线，已知基圆的半径为2，当∠AOB＝时，圆的渐开线上的点M到基圆上B点的距离为(　　)A.　　　　　　　　　　 B.C. D．π解析：选B　由圆的渐开线的形成过程知|BM|＝＝×2＝.2. 平摆线(0≤α≤2π)与直线y＝2的交点的直角坐标是(　　)A．(π－2,2) B．(3π＋2,2)C．(π－2,2)或(3π＋2,2) D．(π－3,5)解析：选C　由y＝2得2＝2(1－cos α)，∴cos α＝0.∵0≤α≤2π，∴α＝或.∴x1＝2＝π－2，x2＝2＝3π＋2.∴交点的直角坐标为(π－2,2)或(3π＋2,2)．3．已知平摆线的参数方程(α为参数)，则摆线上的点(4π，0)对应的参数φ的值是(　　)A．π B．2πC．4π D．3π解析：选B　因由②得cos α＝1.∴α＝2kπ(k∈Z)．代入①得2(2kπ－sin 2kπ)＝4kπ(k∈Z)，即2kπ＝2π(k∈Z)，所以取k＝1，此时α＝2π，因此点(4π，0)对应的参数值为α＝2π.4．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH…的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是(　　)A．3π B．4πC．5π D．6π解析：选C　根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.二、填空题5．已知圆的方程为x2＋y2＝4，点P为其渐开线上一点，对应的参数φ＝，则点P的坐标为________．解析：由题意，圆的半径r＝2，其渐开线的参数方程为(φ为参数)．当φ＝时，x＝π，y＝2，故点P的坐标为(π，2)．答案：(π，2)6．已知圆的渐开线的参数方程是(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝时对应的曲线上的点的坐标为________．解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝时对应的坐标只需把φ＝代入曲线的参数方程，得x＝＋，y＝－，由此可得对应的坐标为.答案：2　7．渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为________．解析：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r＝6，其方程为x2＋y2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为2＋y2＝36，整理可得＋＝1，这是一个焦点在x轴上的椭圆．c＝＝＝6，故焦点坐标为(6，0)和(－6，0)．答案：(6，0)和(－6，0)8．我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的平摆线(α为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为________．解析：关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出平摆线方程关于y＝x对称的曲线方程，只需把其中的x，y互换．答案：(α为参数)三、解答题9．已知一个圆的平摆线方程是(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．解：首先根据平摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是(φ为参数)．10．已知圆C的参数方程是(α为参数)和直线l对应的普通方程是x－y－6＝0.(1)如果把圆心平移到原点O，平移后圆和直线有什么关系？(2)写出平移后圆的平摆线方程．(3)求平摆线和x轴的交点．解：(1)圆C平移后圆心为O(0,0)，它到直线x－y－6＝0的距离为d＝＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．(2)由于圆的半径是6，所以可得平摆线方程是(φ为参数)．(3)令y＝0，得6－6cos φ＝0⇒cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．代入x＝6φ－6sin φ，得x＝12kπ(k∈Z)，即圆的平摆线和x轴的交点为(12kπ，0)(k∈Z)．11．有一个直径是2a的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M，与轮子中心的距离是a，求点M与轮子中心连线的中点P的轨迹方程．解：xM＝a(φ－sin φ)，yM＝a(1－cos φ)．设轮子中心为C，则xc＝aφ，yc＝a.而P是CM中点，则(φ为参数)．。