华中科技大学线性代数第二节行列式得性质.docx

华中科技大学线性代数第二节行列式得性质华中科技大学线性代数第二节行列式的性质TDnnaaa2211行列式称为行列式的转置行列式.TDD记nnaaa2211nnaaa21122112nnaaaD2121nnaaannaaa2112一、行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等.证明：（数学归纳法）n=1时，显然成立；假设对n-1阶行列式也成立，下证对n阶行列式也成立11221njjjjnjnjkjkjkDaAaAaAaA（按j列展开）11221nTiiiininikikikDaAaAaAaA（按i列展开）nnTiiiininikikiikikkkDaAaAaAaAaA112211njjjjnjnjkjkjkDaAaAaAaA11221因此11nnkjkjjknDaA11nnTikikiknDaA即结论成立TnDnDjiA是DT中原素jiijaa()的代数余子式，jiM是相应的余子式，且为行列式D划去第i行、第j列后剩下的元素组成的n-1阶行列式Mij的转置，即TjiijMM,由归纳假设Mij=MijT，故jiijjiijMMAA注：行列式中的行与列的地位是平等的 （对行成立的性质，同样对列成立）推论行列式也可按行展开，即：11221nTiiiiininikikkDDaAaAaAaA性质2行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.111211112112121212nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaakkkka提示：直接对等式两端的行列式按第i行展开11121121121112112112nniiinijijjnnnnnniiinijijjnnnnaaaaaaaAaaaaakkkkkaaaaakAaaa推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面推论若行列式的某一行（列）中所有元素全为零，则行列值式为提示：令性质2中的k=0即得结论若n阶行列式的每一个元素都乘以同一数k，等于用乘以此行列式.性质3互换行列式的两行（列）,行列式变号.证明：（数学归纳法证明）（见课本Page9）n=2时，显然成立；假设对n-1阶行列式也成立，下证对n（2）阶行列式也成立设原n阶行列式为D,D1为交换D的第i行与第j行之后的行列式，由于n2，故除了交换的第i行与第j行，还有一个第k行，分别对D1和D按第k行展开：1211122111kkknkkkkknknDaMaMaM121122111kkknkkkkknknDaMaMaM根据假设，kikiMM故有12111221211221111()1()1kkknkkkkknknkkknkkkkknknDaMaMaMaMaMaMD推论行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明：互换相同的两行，有.0D,DD行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即.ji,AaAaAajninjiji02211).(,02211jiAaAaAanjnijiji推论把行列式按第行展开有det()ijDaj证明j第行i第行11111111niinjjjnjnjjnnnnaaaaDaAaAaaaa把行列式中的换成可得jka(1,,)ikakn1122ijijinjnaAaAaA1iinaa相同,ifij).(,02211jiAaAaAajninjiji同理).(,02211jiAaAaAanjnijiji命题得证关于代数余子式的重要性质;,0,1jijiDDAaijnkkjki当当;,0,1jijiDDAaijnkjkik当当.,0,1jijiij当，当其中（列）（行）性质4若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211则行列式等于下列两个行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD12221111112221111例性质5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa122221111111111112122221()()()ijjnijjjijnninjnjnjaakaaaaakaaackcaakaaak例如计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值jikrr二、计算举例计算行列式的原则：尽量将行列式化为上（下）三角形式n阶行列式的一般计算方法（n!项代数和）11221..1jjjjijijnjnjnkjkjkDaAaAaAaAaAjn计算量非常大n阶行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等.即.TDD性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号.推论如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式为零.性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.kk推论2行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零性质4若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则这个行列式等于两个行列式之和.性质5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变例1103100204199200395301300600解1cD拆10010020420020039530030060031002041200395130060031002001200400130060030c拆3100412005130003141001251302100c384100155100213cc38410015010032cc100202000例21111111111111111xxxx111111111111xxxxxxx412iicc解4x1111111111111111xxxx1irr11110000000xxxxxxx每行所有元素和均相同例3nxaaaxaDaax12,3,4irrDi解00xaaaxxaaxxa(1)0000xnaaaxaxa12,,iccin1(1)nxnaxa爪形结构231312123,(,1,2,,).nnnixaaaaxaaaaxaDxainaaax例412,3,4irrDi解2312131000000nnxaaaaxxaaxxaaxxa爪形结构1,,iicxain32123110010101001nniaaxaxaxaxaxaxa12,,iccin32231010000100001ininiaaaaxaxaxaxaxa1iiiaxaxa例51221100001000000.0001nnnxxxDxaaaaax1(1)nna21(1)nna32(1)nna1(1)()nnxa21121nnnnnaaxaxaxxnExprD1(1)n2(1)nx32(1)nx1nx例6计算范德蒙德(Vandermonde)行列式122221211112111nnnnnnnxxxxxxDxxx将前一行乘以加到下一行上1x解（从下往上）2131122133112222213311111100()()()0()()()nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxDxxxxxxxxx2131122133112222213311111100()()()0()()()nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxDxxxxxxxxx1()ixx按第一列展开，并把每一列的共因子提出，有232131122223111()()()nnnnnnnxxxDxxxxxxxxxn-1阶范德蒙德行列式2131411()()()()nxxxxxxxx324222()()()nnxxxxxxD21314111()()()()nnnDxxxxxxxxD4333()()nnxxxxD2131411()()()()nxxxxxxxx32422()()()nxxxxxx433()()nxxxx2131411()()()()nxxxxxxxx32422()()()nxxxxxx1()nnxx).(1jjinixx222111222.333nnnnDnnn解21212111111222!.13331nnnnDnnnn每一行提取各行的公因子，于是得到例7计算上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知1!()nijnijnD!(21)(31)(41)(1)nn(32)(42)(2)n(1)nn!(1)!(2)!2!1!.nnn(43)(3)n例8递归法求行列式21121121.12112nD11221321nnnnDDDDDD1211211nnnDDDDnn121101211212(1)12112nnDD122nnDD因此计算行列式技巧：分析，探求行列式的结构化零，尽可能把行列式化为爪型边为0，把行列式化为三角形行列式对角化，边化1求出行列式整理思路三、小结多做题目、总结规律、灵活应用结束 4Word版本。