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本文格式为Word版，下载可任意编辑高中新课程数学教学案例选编,（平装） 新课程高中数学课堂教学中的案例（三） ----------对一道例题的分析理解与拓展 石河子第一中学 朱友忠 案例：一道例题的分析理解与拓展 《北师版·必修4》P1173·2 【二倍角的三角函数新授课】 教材中的例4题目：要把半径为R的半圆形的木料截成长方形如图（1 才能使长方形面积最大？ 分析：要求最值←必需建立函数←必需先确定自变量； 问题：面积的变化是由哪个长度发生变化而变化的呢？ 方案一、由于A点在运动，说明OA的长度也在发生变化，此时 图（1） 可设OA=x，连接OB=R，那么AB=R2?x2，所以面积S=2x2?x2（0xR） 解得：S=2x2?x2=2x2(R2?x2)=2?(x2?)2?（也可以用均值定理解决） 2 24 当x2=,即x=时，所以面积Smax=R2; 2 方案二、由于B点在运动，说明∠BOA的大小在发生变化而变化. ，此时可设∠BOA=α，OB=R, 那么AB=Rsinα,OA=Rcosα,所以面积S=2OA·AB=2 Rcosα·Rsinα=R2sin2α; 当sin2α=1,即α=450时，所以面积Smax=R2; 小结反思： 1、代数法：以线段长为自变量，建立函数关系式，用代数方法求函数最值。

2、三角法：选择角度为自变量，建立函数关系式，用三角学识求函数最值；（适用于与旋转有关的问题） 拓展一、《北师版·必修4》P127 B组第5题、题目：把一段半径为R的圆木如图（2）所示，锯成横截面为矩形的木料，试问怎样锯法才能使截面的面积最大？ 分析一、代数法：设AB=x，x∈(0,2R),那么BC=R?x； 分析二、三角法：设∠CAB=α,α∈(0,90),那么AB=2Rcosα,BC=2Rsinα 分析三、几何法：作DE⊥AC,那么S=AC·DE=2R·DE; 2 要使DE最大，即AB=BC时，面积Smax=2R 图（2） 拓展二、一段半径为R,圆心角为90的扇形木料如图（3）所示，锯成横截面为矩形的木料，试问怎样据法才能使截面的面积最大？ 若按如图（4）的锯法： 方法1、代数法：略 方法2、三角法：略 2 2 方法3、几何法：利用对称性恢复成圆木料求得Smax=R2 图（3） 图（4） 图（5） 若按如图（5）的锯法：设∠AOB=α,α∈(0,45) 000 采用三角法解：设∠AOB=α,α∈(0,45),那么BE=Rsin(45-α),OE= Rcos(45-α),由图（5）可知， 00 OF=BE=AF,所以AB=FE=OE-OF=R[cos(45-α)-sin(45-α)] 2000 面积S=2BE·AB=2Rsin(45-α)[cos(45-α)-sin(45-α)] 00 =R2[sin(90-2α)-1+cos(90-2α)] =R2[sin(2α+45)-1] 当α=时，面积Smax=(-1)R2 对比如图（4）的锯法与如图（5）的锯法，鲜明R2(-1)R2 2 所以要采用如图（4）的锯法面积最大。

拓展三、一段半径为R,圆心角为1200的扇形木料如图（6）所示，锯成横截面为矩形的木料，试问怎样锯法才能使截面的 面积最大？ 若按如图（7）的据法： 方法1、代数法：略 方法2、三角法：略 图（6） 2图（7） 方法3、几何法：利用几何特性恢复成圆木料求得Smax=R 2 图（8） 若按如图（8）的锯法：设∠AOB=α,α∈(0,60) 000 采用三角法解：设∠AOB=α,α∈(0,60),那么BE=Rsin(60-α),OE= Rcos(60-α),由图（8）可知， OF=FA=BE=Rsin(60-α), 00 所以AB=FE=OE-OF=R[cos(60-α)-sin(60-α)] 3 00 =R[cos(60-α)- sin(60-α)] 3 =Rsinα 20 面积S=2BE·AB=4Rsin(60-α)sinα]= 2R2[cosαsinα-sin2α] =R2[sin2α-]=R2[sin(2α+300)-] 3 2 3当2α+300=900时，即α=300，面积Smax=R2 对比如图（7）的锯法与如图（8）的锯法，鲜明R2R2 所以要采用如图（8）的据法面积最大。

由上述推理计算过程，让我大胆推测对半径R的扇形图，当扇形角在（00～1800]的范围内，两种截得的矩形面积以下图表成立： 拓展四、将如图（3）的木料锯成如图（9）的外形，怎样锯才能使 四边形OABC的面积最大？ 00 解：设∠AOB=α，α∈(0，90)，那么BD=Rsinα,BE=Rcosα, 所以SOABC=S△OAB+S△OCB=R·Rsinα+R·Rcosα 22 22 =R(sinα+cosα)=Rsin(α+450) 2 当α+450=900，即α=450时，SOABC有最大值为R 2 图（9） 通过教材中的一道例题的理解与拓展，对三角学识加深了理解和应用，正是新课标的要求，使学生掌管根本学识与技能，体会学习的过程，同时领会数学思想方法，不仅巩固了学生对数学学习的兴趣，而且树立了学生对数学学习有了良好的情感态度和价值观 新课程高中数学课堂教学中的案例（四） ——-几种特殊的抽象函数在某点处的导数探究 石河子第一中学 朱友忠 案例：几种特殊的抽象函数在某点处的导数的求法 由于新课程标准对《导数》这一章内容概念的理解加大了力度，在一些课外参考书中也很少提到抽象函数在某点处的导数的求法；本文主要通过导数的定义研究抽象函数在某点处的导数的求法；进一步扶助同学们加深理解导数定义。

下面以4种常见类型的抽象函数为例： 一、形如f(x+y)=f(x)+f(y)类型 例1、已知函数y=f(x)在定义域D内是可导函数，得志f(x+y)=f(x)+f(y),且f′(0)=2,求当x=a时，f′(a)的导数. 解：令x=0代入f(x+y)=f(x)+f(y)中，得f(0)=0 由导数的定义，f′(a)=? x?0 f(a??x)?f(a)f(a)?f(?x)?f(a)f(?x)f(0??x)?0 limlimlim=?== x?0?x?0?x?0 篇三：新课程高中数学课堂教学中的案例(一) 新课程高中数学课堂教学中的案例（一） 22 ----—再谈根本不等式???的创新表示法 22 石河子第一中学 朱友忠 a?b 案例：根本不等式???的创新表示法 《北师版·必修5》【不等式习题课】3·4 P95 B组第1题略有改动 题目：在⊙O上半圆中已知AC=a,CB=b,(a≥b),CD⊥AB,EO⊥AB,连接OD，作CF⊥OD如下图：请用a,b分别表示线段CE,OE,CD,DF的长度，指出它们之间的大小关系，并证明； 一、归纳课本中的表示法 解：∵AC=a,CB=b, ∴OC=,CG=OE= 22 在Rt△EOC中，有CE2=OC2+OE2=()2+()2= OE=OD=(同圆的半径相等)，CD= 2()22在Rt△ODC中，有CD=DF·OD; ∴DF=== 22 整理：CE=，OE=, CD=, DF= 2 通过图中的Rr△的斜边与直角边的关系，鲜明可以得出：CE≥OE≥CD≥DF成立； 22 即：???， 当且仅当a=b时，取“=”成立。

主要是建立集合图形证明 22 《北师版·选修2-2》(P12习题1-2中第1题中)再次展现“???”的证明 二、创新课本中的表示法 上课时提问：“”在全面所学的学识中与那个式子类同？ 学生甲说：在学习等差数列中，与等差中项的公式类同； 学生乙说：在学习求A、B两点的中点坐标公式类同； 学生丙说：在学习函数学识时,当某个函数的图象得志f(x+a)=f(b-x)时，那么函数图象的对称轴x0=2 的表达式类同； 学生丁说：在初中学习平面几何时，与梯形的中位线式子类同 通过几分钟的提问与启发，老师与学生，学生与学生之间举行了互动和回忆；同学们竟然能回想起这么多的类同，说明“”这个式子在数学学识里也是分外重要的一个表达式；而且在大学的数学 2 课本中还有与上述类同式子的应用 22 同学们，今天我们就学生丁同学所说，利用梯形中四条线段的长度来表示：“” ，“” 2 “”，“” 是成立的；那么它们分别代表哪四条线段呢？ 设梯形的下底AB= b，上底CD= a，如图(1),于是就有： (1).梯形的“中位线”EF=,鲜明成立； F 证明很简朴略在初中的平面几何中已经证明。

(2).在梯形中，作GH∥AB与两腰相交于G、H；如图(2), 使得梯形 图(1) B a H ABHG与梯形GHCD好像，那么?,即GH=鲜明成立；称GH为“好像线” (3).在梯形中，过梯形两对角线的交点O作PQ∥AB与两腰相交于 P、Q；如图(3),设PO=x,OQ=y,DO=m,OB=n,于是有△DPO∽△DAB, 那么?，即?，∴x=① 图(2) B Q B △BOQ∽△BDC,有 OQy ?，即?，∴y= ② 图(3) 由①，②可得，PQ=x+y=+= 即PQ= ③ b 在梯形中，△ODC∽△OBA,有?,即?④ AB OB n N 将④代入③中消去得: PQ=,称PQ为“调和线” （a?x)h1(x?b)h2 ABNM与梯形MNCD的面积相等，设MN=x, 那么有， ? h1?⑤，在梯形中，△CKN∽△NSB,有h1?,即h1? ⑥ Ph2a?xh2SBh2b?x22 h1由⑤，⑥可得?=，即MN=x=; 称MN为“面积线” (4). 在梯形中，作MN∥AB与两腰相交于M、N；如图(4), 使得梯形 b B 图(4) Q H F N 2归纳上述梯形的四条线段如图(5)可知，鲜明有：MN≥EF≥GH≥PQ 22 即：???当且仅当a=b时，取“=”成立。

图(5) B 此时的梯形就成为一个平行四边形 三、构建函数单调性表示法 例如：函数f(x)=x?1，可以证明该函在实数R上是增加的； xx x?1 22 于是就有：f(1)= ，f(0)。