高中数学专题08分段函数-【一题一专题 技巧全突破】专项突破（解析版）.docx

分段函数专项突破 高考定位分段函数的求值、单调性和含参数的函数的单调性和最值等问题，是每年高考的重点既可以整体把握，也可以分类讨论.整体把握做好的办法是做图，而分类讨论思想实际上是一种化整为零、化繁为简、分别对待、各个击破的思维策略在数学解题中的运用. 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，它在人类的思维发展中起着重要的作用. 分类讨论思想，可培养逻辑思维能力和抽象思维能力和严密的思考问题的能力考点解析一、分段函数的分类（1）初等函数组合型（2）含绝对值型（3）周期性分段（4）对成型分段（5）新定义型二、处理办法（1）讨论 （2）图像题型分类类型一、初等函数组合分段函数例1-1（不含参数）函数f(x)＝为（ ）A．奇函数　　 B．偶函数 C．即是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数【答案】A【解析】法一：定义法当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝x2＋2x－1，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．法二：图象法，作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数．例1-2（含参数）（2021·福建龙岩市·上杭一中高三）已知函数，若存在实数，使函数有两个零点，则实数的取值范围是___________.【答案】（-∞，2）∪（4，+∞）【分析】根据函数解析式作出函数图像，对参数a分类讨论，数形结合求得函数有2个零点时满足的参数范围.【详解】作出函数图像，易知与有3个交点，其中，是其两个交点的横坐标，①当时，函数的图像为：由图知，存在实数b，使函数有两个零点；②当时，函数的图像为：由图知，函数单调递增，不存在实数b，使函数有两个零点；③当时，函数的图像为：或由图知，存在实数b，使函数有两个零点；综上所述，存在实数b，使函数有两个零点的参数a的范围为练（2021·北京市第十二中学高三月考）已知，函数，函数恰有2个零点，则的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】B【详解】由于恰有个零点，结合图象可知，时，有两个零点.故选：B例1-3（含参数）已知函数，若对于任意一个正数，不等式在上都有解，则的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由不等式可知，或，结合图象，分析可得的取值范围.【详解】当时，，得，，不能满足都有解；当时，，得或，如图，当或时，只需满足或，满足条件.所以，时，满足条件.例1-4（含参数）（多选题）（2021·辽宁实验中学高三）已知函数(即，)则（ ）A．当时，是偶函数 B．在区间上是增函数C．设最小值为，则 D．方程可能有2个解【答案】ABD【分析】结合奇偶函数的定义和二次函数的性质逐一判断选项即可.【详解】：当时，，即，所以，所以是偶函数，故正确；：当时，，的对称轴为，开口向上，此时在上是增函数，当时，，的对称轴为，开口向上，此时在上是增函数，综上，在上是增函数，故正确；：当时，，当时，，因为不能确定的大小，所以最小值无法判断，故错误；：令，当时，，有2个解，故正确.例1-5（含参数）（2021·重庆市永川北山中学校）设若，则________．【答案】【分析】分和两种情况讨论，结合函数的解析式解方程，可求得实数的值，进而求得结果.【详解】若，则，由，得，即，解得：（舍去）或；若，由，得，该方程无解.综上可知，，。

例1-6（含参数）已知函数f(x)=ex−1,x>0−x2−2x+1,x≤0，若关于x的方程f2(x)−3f(x)+a=0(a∈R)有8个不等的实数根，则a的取值范围是（ ）A． 0,14 B． 13,3 C． (1,2) D． 2,94【答案】D【解析】【分析】由题意结合函数的图形将原问题转化为二次方程根的分布的问题，据此得到关于a的不等式组，求解不等式组即可.【详解】绘制函数f(x)=ex−1,x>0−x2−2x+1,x≤0的图象如图所示，令fx=t，由题意可知，方程t2−3t+a=0在区间1,2上有两个不同的实数根，令gt=t2−3t+a10g2=4−6+a>0g32=94−92+a<0，据此可得：20时，g'(x)>0恒成立；②∀x∈R都有g(x)=g(−x)．f(x)满足：①∀x∈R都有f(x+3)=f(x−3)；②当∀x∈[−3,3]时，f(x)=x3−3x．若关于x的不等式g[f(x)]≤g(a2−a+2)对x∈[−32−23,32−23]恒成立，则a的取值范围是______．【答案】(−∞,0 ]∪[ 1,+∞)【解析】【分析】根据条件可得函数g（x）的奇偶性和单调性，利用条件可得函数f（x）的周期性，将不等式进行转化为求函数最值恒成立即可得到结论．【详解】∵函数g（x）满足：当x＞0时，g'（x）＞0恒成立且对任意x∈R都有g（x）=g（﹣x），∴函数g（x）为R上的偶函数且在[0，+∞）上为单调递增函数，且有g|（x|）=g（x），∴g[f（x）]≤g（a2﹣a+2），x∈[−32−23,32−23]恒成立⇔|f（x）|≤|a2﹣a+2|恒成立，只要使得定义域内|f（x）|max≤|a2﹣a+2|min，由f（x+3）=f（x﹣3），得f（x+23）=f（x），即函数f（x）的周期T=23，∵x∈[﹣3，3]时，f（x）=x3﹣3x，求导得：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），该函数过点（﹣3，0），（0，0），（3，0），且函数在x=﹣1处取得极大值f（﹣1）=2，在x=1处取得极小值f（1）=﹣2，即函数f（x）在R上的最大值为2，∵x∈[−32−23,32−23]，函数的周期是23，∴当x∈[−32−23,32−23]时，函数f（x）的最大值为2，由2≤|a2﹣a+2|，即2≤a2﹣a+2，则a2﹣a≥0，解得：a≥1或a≤0．练．（2021·江苏·常州市西夏墅中学高三开学考试）设是定义在上的偶函数，且当时，.若对任意的，不等式恒成立，则实数的值可以是（ ）A．-1 B． C． D．【答案】ABC【详解】因为函数，当时，单调递减，当时，单调递减，又，所以在上单调递减，又函数是定义在上的偶函数，， 因为不等式对任意的恒成立，而，所以对任意的恒成立，即对任意的恒成立，故对任意的恒成立，令，所以，解得，所以可以为-1，，.故选：ABC. 类型三、周期类分段函数例3-1（多选题）已知函数若函数有且只有两个不同的零点，则实数的取值可以是（ ）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】BCD【分析】作出函数的图象如下图所示，将原问题转化为函数的图象与直线有两个不同的交点，根据图示可得实数的取值范围.【详解】根据题意，作出的图像如下所示：令，得，所以要使函数有且只有两个不同的零点，所以只需函数的图像与直线有两个不同的交点，根据图形可得实数的取值范围为，【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．例3-2．定义在上函数满足，且当时，，则使得在上恒成立的的最小值是______________.【答案】【解析】由题设知，当时，，故，同理：在上，，∴当时，.函数的图象，如下图示.在上，，得或.由图象知：当时，.故答案为：.类型四、对称分段例4-1．已知函数，函数有2个零点，则实数a的取值范围是____________．【答案】或【解析】解：函数，函数的图象关于对称，绘制函数图像如图所示，函数有2个零点则函数与函数有2个交点，当斜率为零，即时，由图像可得有两个交点，则成立；当斜率不为零，即时，如图所示，考查临界情况，当直线与函数相切时，设切点坐标为，由题意可得：，解得则直线与函数相切时斜率为，数形结合可知实数a的取值范围是．综上，答案为：或．类型五、新定义分段函数例5-1 定义maxa,b为a,b中的最大值，函数fx=maxlog2x+1,2−x,x>−1的最小值为c，如果函数gx=2m−1x+34,x≥cmx,x−1，则f（x）=2−x，x＜1log2x+1，x≥1  ，分析可得，当x=1时，fx取得最小值2，则有c=1 ，则x=2m−1x+34,x≥1mx,x<1，若gx为减函数，必有(2m−1)＜00＜m＜1(2m−1)+34≤m，解可得：0＜m≤14，即m的取值范围为0,14。

例5-2 （2021·山西太原高三）黎曼函数（）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，黎曼函数定义在上，其定义为：当，若函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则__________．【答案】【分析】先利用奇函数和得到是周期为2的奇函数，把转化为，而当时，，直接代入求解即可.【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且，所以，当时，，所以.。