任意角和弧度制知识点与同步练习.docx

精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -1.1 任意角和弧度制学习过程学问点 1：正角、负角、零角概念、终边相同的角师：为了区分起见，我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，如图 2 中的角为正角，它等于 300 与 7500；我们 把 按 逆 时 针 方 向 旋 转 所 形 成 的 角 叫 正 角 ， 那 么 同 学 们 猜 猜 看 ， 负 角 怎 么 规 定 呢 ？ 零 角 呢 ？生：按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，假如一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角；终边相同的角相差 360 的整数倍； 例如： 7500=2× 3600+300 ；-6900=-2 ×3600+300 ；那么除了这些角之外， 与 300角终边相同的角仍有：3× 360+300 -3×360+3004× 360+300 -4×360+300， ，由此，我们可以用 S={ β |β =k × 3600+300， k ∈ Z} 来表示全部与 300 角终边相同的角的集合；师：那好，对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？生： S={ β |β=α +k × 3600， k∈ Z} ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和；学问点 2：弧度制弧度制—另一种度量角的单位制它的单位是 rad 读作弧度Br1rad AoC l=22rardr Ao定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角；如图： AOB=1rad AOC=2rad周角 =2 rad 360 =2 rad ∴ 180 = rad∴ 1 =180rad0.01745rad1rad18057.3057 18'1． 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是 02． 角 的弧度数的肯定值l（ l 为弧长， r 为半径）r3． 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是 0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同；学习结论1．正角、负角、零角概念精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -正角：把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角负角：顺时针方向旋转所形成的角叫负角零角：假如一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角；终边相同的角的集合：对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合表示为 ;S={ β |β =α +k× 3600 ， k∈ Z} ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和；2．弧度制：正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是 0角 的弧度数的肯定值360 =2 rad ∴180 = radl（ l 为弧长， r 为半径）r∴ 1 =180rad0.01745rad1rad典型例题例 1、 用集合表示：18057.3057 18'（1）各象限的角组成的集合． （ 2）终边落在 轴右侧的角的集合．解析： 〔1〕 第一象限角： ｛ α|k360o ＜πα＜ k360o+90o,k ∈ Z｝ 其次象限角： ｛ α|k360o+90o＜ α＜ k360o+180o,k ∈ Z ｝第三象限角： ｛ α|k360o+180o＜ α＜ k360o+270o,k ∈ Z｝第四象限角： { α|k360o+270o＜ α＜ k360o+360o ,k ∈ Z｝（ 2）在 ～ 中， 轴右侧的角可记为 ，同样把该范畴“旋转” 后，得， ，故 轴右侧角的集合为．说明：一个角按顺、逆时针旋转 （ ）后与原先角终边重合，同样一个“区间”内的角，按顺逆时针旋转 （ ）角后，所得“区间”仍与原区间重叠．例 2 、在 ～ 间，找出与以下各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角（ 1） ；（2） ；（ 3） ．解析：（ 1）∵∴与 角终边相同的角是 角，它是第三象限的角；（2）∵∴与 终边相同的角是 ，它是第四象限的角；（3）精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -所以与 角终边相同的角是 ，它是其次象限角．例 3、 利用弧度制证明扇形面积公式S 1 lR 其中 l 是扇形弧长， R 是圆的半径；2证明： 如图：圆心角为 1rad 的扇形面积为：1 R 22Ro S l弧长为 l 的扇形圆心角为l rad R∴ S l R1 R22n R 21 lR2比较这与扇形面积公式S扇 要简洁360基础练习一1.1 意角与弧度制一、挑选题1. 以下角中终边与 330°相同的角是（ ）A． 30° B． -30° C．630° D ．-630°2. 终边与 x 轴重合的角 α的集合是 〔 〕〔A〕{ α| α=k·360°， k∈ Z} 〔B〕{ α| α=k· 180°+90°， k∈ Z} 〔C〕{ α| α=k·180°， k∈ Z} 〔D〕{ α| α=k· 90°， k∈ Z}3.在半径不等的两个圆内， 1 弧度的圆心角（ ）A. 所对的弧长相等 B. 所对的弦长相等C.所对的弧长等于各自的半径 D. 以上都不对4. 如一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，就其圆心角的弧度数为 〔 〕〔A〕3〔B〕2 〔C〕 3 〔D〕235. 将分针拨快 10 分钟，就分针转过的弧度数是 〔 〕〔A〕 〔B〕 － 〔C〕 〔D〕 －3 3 6 6* 6. 已知集合 A={ 第一象限角 } ， B={ 锐角 } ， C={ 小于 90°的角 } ，以下四个命题：① A=B=C ② A C ③ C A ④ A∩ C=B, 其中正确的命题个数为 〔 〕 〔A〕0 个 〔B〕2 个 〔C〕3 个 〔D〕4 个二 . 填空题7. 终边落在 x 轴负半轴的角 α的集合为 ，终边在一、三象限的角平分线上的角 β的集合是 .8. -23 π rad 化为角度应为 .129. 如角 α 是第三象限角，就 角的终边在 ，2α角的终边在 .210. 已知扇形的半径为 12cm,弧长为 18cm,就扇形圆心角的弧度数为三 . 解答题11. 写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合 〔 不包括边界 〕精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -学问点：任意角的三角函数1. 单位圆 : 在直角坐标系中 , 我们称以原点 O 为圆心 , 以单位长度为半径的圆称为单位圆 .2. 任意角的三角函数的定义如图 , 设 是一个任意角 , 它的终边与单位圆交于点P〔 x, y〕 , 就 OP的长 r=1 ，那么 : Y(1) yr（ 2） xr叫做 的正弦 〔sine〕, 记做 sin , 即叫做 的余弦 〔cossine〕, 记做 cos , 即sincosy y ；r xx ；rP〔x,y〕OA〔1,0〕 x（ 3） y 叫做 的正切 〔tangent〕, 记做 tan , 即 tan x说明 :y 〔x x0〕 .(1) 当k 〔k Z 〕 时， 的终边在 y 轴上，终边上任意一点的横坐标 x 都等于 0 ，所以 tan y2 x无意义 , 除此情形外，对于确定的值 ，上述三个值都是唯独确定的实数 .(2) 当 是锐角时，此定义与中学定义相同；当 不是锐角时，也能够找出三角函数，由于，既然有角，就必定有终边，终边就必定与单位圆有交点P〔x,y〕 ，从而就必定能够最终算出三角函数值 .(3) 正弦 , 余弦 , 正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数 .3. 三角函数的定义域 , 函数值的符号练习：1. 确定以下三角函数值的符号〔1〕 cos250 ; 〔2〕 sin〔〕 ; 〔3〕 tan〔 672 〕 ; 〔4〕 tan3 .42. 求以下三角函数值 :(1) cos 9 4; 〔2〕tan〔11 〕 .63. 已知角 的终边上一点P 〔 3, m〕 ，且sin2 m，求 cos 的值 .4一、挑选题：1．已知 sinα= 4 ，且α是其次象限角，那么 tanα的值为 （ ）5A ． 4 B．33 C．43 D． 44 3精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -2．已知α的终边经过 P（ sin 56, cos 56），就α可能是 （ ）A ． 5 B．6 6C． D．3 33．如θ是第三象限角，且cos20 ，就 是 （ ）2A ．第一象限角 B．其次象限角 C．第三象限角 D．第四象限角4．sin600o= ．5．如θ为其次象限角，就 sinθcosθtan3 的符号是 ．6．角α的终边上有一点 P（m， 5），且 cosm , 〔m 130〕 ，就 sinα +cosα= ．精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - 。