专题05 存在性问题（3月）（人教A版2019）（解析版）.docx

专题05 存在性问题一、单选题1．若函数在区间内既存在最大值也存在最小值，则的取值范围是A． B．C． D．【试题来源】2020-2021学年高二数学十分钟同步课堂专练（人教A版选择性必修第二册）【答案】A【分析】利用导数求出在处取得极小值，在处取得极大值，再根据且，结合三次函数的图象列不等式组可求得结果．【解析】由得或，可以判断在处取得极小值，在处取得极大值．令，得或，令，得或，由题意知函数在开区间内的最大、最小值只能在和处取得，结合函数的图象可得，解得， 故的取值范围是．故选A【名师点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值和最值，考查了数形结合思想，属于基础题．2．设为的极值点，则下列说法正确的是A．必有 B．不存在C．或不存在 D．存在但可能不为0【试题来源】安徽省安庆市怀宁县第二中学2019-2020学年高二下学期期中线上检测（理）【答案】C【解析】设，则，，且当时，，递减；当时，，递增．所以是的极小值点，且满足．由此排除BD选项．设，当时，，递减；当时，，递增．所以是的极小值点，但不存在，由此排除A选项．综上所述，正确的选项为C．故选C.3．已知e=2．71828⋯，设函数f(x)=12x2−bx+alnx存在极大值点x0，且对于b的任意可能取值，恒有极大值f(x0)<0，则下列结论中正确的是A．存在x0=a，使得f(x0)<−1e B．存在x0=a，使得f(x0)>−eC．a的最大值为e2 D．a的最大值为e3【试题来源】河北省衡水中学2020届高三下学期第九次调研（文）【答案】D【分析】求函数的导数，根据函数存在极小值等价为f(x)=0有解，转化为一元二次方程，根据一元二次方程根与判别式之间的关系进行转化求解即可．【解析】由题意得，函数的定义域为0，+∞，f(x)=x−b+ax．若函数fx存在极大值点x0，则fx有解，即x2−bx+a=0有两个不等的正根，则Δ=b2−4a>0x1+x2=b>0x1⋅x2=a>0，得b>2aa>0．由f(x)=x−b+ax=0可得x1=b−b2−4a2，x2=b+b2−4a2．分析易得fx的极大值点为x1=x0，且x02−bx0+a=0．因为b>2aa>0，所以x1=x0=b−b2−4a2=2ab+b2−4a∈0，a，所以fx的极大值为fx0=12x02−bx0+alnx0=12x02−x02−a+alnx0=−12x02+alnx0−a．设gx=alnx−12x2−a，x∈0，a，则fx的极大值恒小于0等价于gx恒小于0．因为gx=ax−x=a−x2x>0在0，a上在恒成立，所以gx在0，a上单调递增，所以gx