高考数学一轮复习 第03讲 直线、平面平行垂直的判定与性质（练）（解析版） 讲练测.docx

第03讲 直线、平面平行垂直的判定与性质（练）一、单选题1．己知m，n是两条不重合的直线，，，是三个不重合的平面，下列命题中正确的是（    ）A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】根据空间中位置关系的性质定理和判定定理可判断各选项的正误.【详解】对于A，若，则或异面，故A错误.对于B，若，则或相交，故B错误.对于C，若，则或相交，故C错误. 对于D，由线面垂直的性质可得若，则，故D正确，故选：D.2．已知空间中，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）A．， B．，C．，，与异面 D．，，【答案】B【分析】根据空间中的线和平面，以及平面与平面的位置关系即可逐一判断.【详解】由，可得或者，故A错误，由垂直于同一平面的两直线平行，可知B正确,由，，可得与异面或者，故C错误，由，，，当时，不能得到，只有当时，才可以得到，故D错误，故选：B3．已知两条不同的直线及两个不同的平面，下列说法正确的是（    ）A．若，则B．若，则与是异面直线C．若，则与平行或异面D．若，则与一定相交【答案】C【分析】由面面平行的性质可判断ABC，由线面平行的判定定理可判断D【详解】若，则直线没有交点，故与平行或异面，故A，B错误，C正确；若，当时，与平行，故D错误故选：C4．设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中正确的是（    ）A．若与所称的角相等，则 B．若，则C．若，则 D．若，则 【答案】B【分析】根据平行和垂直的性质定理，并进行判断.【详解】对于选项A,将一个圆锥放到平面上，则它的每条母线与平面所成的角都是相等的，故“若与所称的角相等，则”故A错；对于选项C,若，则位置关系可能是平行，相交或异面，故C错；对于选项D,若，则是错误的，两平面还可能是相交平面；故D错；对于选项B，若，则，两个平面垂直时，与它们垂直的两个方向一定是垂直的.故选：B.5．三棱柱中，面，则下列两条直线中，不互相垂直的是（    ）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】B【分析】根据线面垂直的性质以及判定即可得到线线垂直，由选项即可逐一求解.【详解】对于A，因为平面，平面，所以；对于B，与不一定垂直；对于C，因为，，且，平面,所以平面，平面,所以；对于D，因为平面，，所以平面，平面,所以，又，且，平面,所以平面，又平面，所以C. 故选：B．6（理科）．如图，在正四棱柱中，是棱的中点，点在棱上，且.若过点的平面与直线交于点，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，表示出点的坐标，设，由面面平行的性质得到平面，再由线面平行的性质得到，根据向量共线的坐标表示计算可得.【详解】解：以为坐标原点，以， ，的方向分别为， ，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设，则.因为平面平面，平面，所以平面，因为平面平面，平面，所以，则，即，即,解得，故.故选：A二、填空题7．空间四边形中，，则异面直线与所成的角的大小为___________.【答案】【分析】取中点，连接，由证平面，再证即可得所求角度.【详解】空间四边形中，取中点，连接，因为，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，所以与所成的角为.故答案为：8．正棱锥的高为2，侧棱与底面所成角为，则该正棱锥的侧棱长为______．【答案】【分析】先求出，再根据勾股定理求出即可.【详解】如图所示，是一个正四棱锥，，且有，侧棱与底面所成角为，所以，所以侧棱，故答案为：9．如图，是的二面角棱上的两点，线段、分别在平面内，且，，，，，则线段的长为______．【答案】4【分析】作辅助线使为二面角的平面角，由余弦定理求出，再通过证明平面EAC，得出，通过勾股定理即可求解.【详解】如图所示：在平面中，过A作直线平行于BD，在其上取一点E，使AE＝BD，连接EC、ED．由，则即为的平面角，则．在中，由余弦定理得：，四边形EABD是平行四边形，则ED＝AB＝3．由平面EAC，结合得平面EAC，平面EAC，则，是直角三角形．由勾股定理．故答案为：410．a，b，c是空间中互不重合的三条直线，下面给出五个命题：①若ab，bc，则ac；②若ab，bc，则ac；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a平面，b平面，则a，b一定是异面直线；上述命题中正确的是_______（只填序号）．【答案】①【分析】对于①，用平行的传递性即可判断；对于②，利用直线垂直的性质即可判断；对于③，利用直线的位置关系判断；对于④，利用异面直线的定义判断【详解】解：①根据空间直线平行的平行公理可知，若ab，bc，则ac，所以①正确；②在空间中，若ab，bc时，与可以相交、平行，也可以异面，所以②错误；③在空间中，若a与b相交，b与c相交，与可以相交、平行，也可以异面，所以③错误；④若a平面，b平面，并不能说明与不在同一个平面内，与可以平行、相交，也可能是异面直线，所以④错误，故答案为：①．三、解答题11（理科）．如图，在正三棱柱中，底面边长为2，，D为的中点，点E在棱上，且，点P为线段上的动点．(1)求证：；(2)若直线与所成角的余弦值为，求平面和平面的夹角的余弦值．【解析】（1）在矩形中，，D为的中点，所以，所以，因为是正三角形，D为的中点，所以，又因为是正三棱柱，所以平面，而平面，所以，而平面，所以平面，因为平面，所以，因为平面，点P为线段上，所以平面，而平面，所以；（2）如图以的中点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，则，设，则，所以，即，解得，所以，设为平面的法向量，则令，则，所以，取为平面的法向量，所以，所以平面与平面的夹角的余弦值为．12．四棱锥中，平面，四边形为菱形，，为的中点.(1)求证：平面平面；(2)求与平面所成的角的正切值；【解析】（1）∵四边形ABCD为菱形，∴，∵，∴为等边三角形，∴，在中，E是AD中点，∴，∵平面ABCD，平面ABCD，∴，∵，平面PAD，平面PAD，∴平面PAD，∵平面PCE，∴平面平面PAD.（2）∵平面PAD，∴斜线PC在平面内的射影为PE，即是PC与平面PAD所成角的平面角，∵平面ABCD，平面ABCD，∴，在中，，在中，，∵平面PAD，平面PAD，∴，在中，，∴PC与平面PAD所成角的正切值为.一、单选题1．已知矩形ABCD中，，将沿BD折起至，当与AD所成角最大时，三棱锥的体积等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判断当与所成角最大时，，进而证得面，再证得是直角三角形，故可由求得结果.【详解】因为异面直线最大角为直角，故当时，与所成角最大，因为四边形是矩形，所以，又，，面，故面，又因为面，所以，在中，，所以，又，所以，故，所以.故选：C.2．设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则（    ）A．若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥αB．若lm，mn，l⊥α，则n⊥αC．若lm，m⊥α，n⊥α，则l⊥nD．若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则lm【答案】B【分析】根据线面垂直的判定定理可判断A；根据线面垂直的性质结论可判断B,C；根据线面垂直的性质结合空间直线的位置关系可判断D.【详解】由α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，知：在A中，若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，由于m,n不一定相交，则l与α相交、平行或l⊂α，即l不一定垂直于α，故A错误；在B中，若lm，mn，则ln，又因为l⊥α， 故n⊥α，故B正确；在C中，若lm，m⊥α，n⊥α，则ln，故C错误；在D中，若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l与m相交、平行或异面，故D错误．故选：B．3．已知正方体的边长为2，点E，F分别为棱CD，的中点，点P为四边形内（包括边界）的一动点，且满足平面BEF，则点P的轨迹长为（    ）A． B．2 C． D．1【答案】A【分析】通过作图，利用面面平行找到点P的轨迹，从而求得其长度，即得答案.【详解】画出示意图如下：取中点N，取 中点M，连接 ,则,则四边形为平行四边形，所以BE，连接,则,故MNEF，又 ，平面 平面BEF,所以平面BEF平面B1MN，平面∩平面=MN，所以P点轨迹即为MN，长度为；证明：因为平面BEF平面 ，P点是MN上的动点，故平面，所以平面BEF，满足题意.故选：A．4．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，P为CC1的中点，点Q在四边形DCC1D1内（包括边界）运动，若AQ∥平面A1BP，则AQ的最小值为（    ）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】由线面平行与面面平行的判定定理求解即可【详解】取C1D1，D1D，CD，FG中点分别为E、F、G，H，连接EP，AF，FG，AG，AH，如图所示：∵P为CC1的中点，则平面A1BP即为平面A1BPE，EP∥DB，FG∥DB，A1E∥AG，EP∥FG，∵FG⊄平面A1BPE，AG⊄平面A1BPE，∴FG∥平面A1BPE，AG∥平面A1BPE，又FG∩AG＝G，FG⊂平面AFG，AG⊂平面AFG，∴AFG∥平面A1BP，∴当Q运动到FG中点H时，此时AH⊂平面AFG，AH∥平面A1BP，AQ的最小值为AH，∵AB＝2，∴AF＝AG，FG，在Rt△AFH中，AH，故AQ的最小值为，故选：B．5．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动．若平面AMN，则PA1的最小值是（    ）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】由平面，可以找到点在右侧面的运动轨迹，从而求出的最小值【详解】如图所示，取的中点,的中点，连接，因为分别是棱 的中点，所以，，又因为,,，所以平面平面，平面，且点在右侧面，所以点的轨迹是，且，，所以当点位于中点处时，最小，此时，.故选：C6．在正方体中，则下列判断错误的是（    ）A．平面 B．平面∥平面C．直线过的垂心 D．平面与平面夹角为【答案】D【分析】由题意可得，，进而得平面，从而判断A正确；由∥∥，进而得平面∥平面，从而判断B；由三棱锥为正三棱锥，可得直线过的垂心，从而判断C；连接交于O点，连接，则可得为平面与平面的夹角，在中计算的值，从而判断D.【详解】解：由，得平面,所以，同理可得，所以平面，故A正确；由∥∥，得平面∥平面，故B正确；因为三棱锥为正三棱锥（或由两两垂直）得直线过的垂心，故C正确；连接交于O点，连接，由，得为平面与平面的夹角，因为，故D错误．故选：D.二、填空题7．在三棱柱中，底面，，，与平面所成的角为45°.当三棱柱的体积最小时，三棱柱外接球的表面积为______.【答案】【分析】过点B作、，利用线面垂直、面面垂直的判定定理、性质定理证明面面垂直和线面垂直，得到是（）与平面所成的角，再利用底面三角形的面积和基本不等式得到，进一步确定三棱柱体积的最值和外接球球心位置和半径.【详解】过。