高考数学一轮复习 第02讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（练）（解析版） 讲练测.docx

第02讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（练）一、单选题1．如图所示，直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．【答案】A【分析】取的中点的中点，由题可得为与所成角，结合条件及余弦定理即得.【详解】取的中点的中点，则，∴为与所成角，由题可知直三棱柱为正棱柱,设，则，在中，可得,∴与所成角的余弦值为．故选：A．2．下列能保证直线与平面平行的条件是（    ）A．，B．，，C．､，，，，且D．，，，【答案】B【分析】由线面平行的判定定理可知ACD不满足条件.【详解】A中，直线可能在平面内，A错误；B中，，，，根据线面平行的判定，可知，B正确；C中，，若点在内，则直线在平面内，C错误.D中，直线可能在平面内，D错误.故选：B3．在三棱锥中分别是边的中点，且，则四边形是（    ）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】B【分析】根据中位线的性质及平行公理可得四边形是平行四边形，再利用可得四边形是矩形.【详解】因为分别是边的中点，所以，所以；同理可得，所以四边形是平行四边形；又因为，所以，即四边形是矩形.故选：B.4．对于直线m、n和平面，下面命题中的真命题是（    ）A．如果，，m、n是异面直线，那么B．如果，，m、n是异面直线，那么n与相交C．如果，，m、n共面，那么D．如果，，m、n共面，那么【答案】C【分析】根据点、线、面的位置关系并结合图形即可判断答案【详解】解：对于A，如果，，m、n是异面直线，则或与相交，故A错；对于B，如果，，m、n是异面直线，那么n与相交或平行，故B错；对于C，如果，，m、n共面，由线面平行的性质定理，可得，故C对；对于D，如果，，m、n共面，则或相交，故D错故选：C5．一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（    ）A．平行 B．相交 C．异面 D．相交或异面【答案】D【分析】根据空间中两直线的位置关系，即可求解：【详解】如图（1）所示，此时直线与直线为异面直线，其中，此时直线与为相交直线；如图（2）所示，此时直线与直线为异面直线，其中，此时直线与为异面直线，综上，一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线的位置关系是相交或异面.故选: D.6．正方体的对角线与各个面上与其不共端点的对角线的位置关系是（    ）A．异面垂直 B．异面不垂直 C．可能相交可能异面 D．可能相交、平行或异面【答案】A【分析】作出辅助线，证明线面垂直，从而证明线线垂直，得到正方体的对角线与各个面上与其不共端点的对角线的位置关系.【详解】如图，正方体的对角线，与其不共端点的面对角线，连接，则，又因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，且两直线异面，同理可证明正方体的对角线与各个面上与其不共端点的对角线垂直且异面，综上：正方体的对角线与各个面上与其不共端点的对角线的位置关系为异面垂直.故选：A二、填空题7．已知四面体中，、、分别为、、的中点，且异面直线与所成的角为，则_________.【答案】或【分析】根据，，结合异面直线夹角的定义求解即可.【详解】如图，因为、、分别为、、的中点，故，，故与所成的角即与所成的角为，且与相等或者互补，故或.故答案为：或8．已知，，，是相应长方体或空间四边形的边或对角线的中点，则这四点必定共面的是______．（写序号）【答案】①③④【分析】利用平面的基本性质及推论，逐一检验即可．【详解】①中，，，，，四点共面；②中，和是异面直线，故四点不共面；③中，，，，，四点共面；④中，，，，，四点共面；故答案为：①③④9．从正方体的12条棱和12条面对角线中选出条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则的最大值为______．【答案】4【分析】根据正方体的结构特征，先确定至多可选出4条，再确定选出4条两两异面的线，即可得到结论．【详解】正方体共有8个顶点，若选出的条线两两异面，则不能共顶点，即至多可选出4条，又可以选出4条两两异面的线（如图 ），故所求的最大值是4．故答案为：4．10．对于任意给定的两条异面直线，存在______条直线与这两条直线都垂直．【答案】无数【分析】平移一条直线与另一条相交并确定一个平面，再由线面垂直的意义及异面直线所成角判断作答.【详解】令给定的两条异面直线分别为直线，平移直线到直线，使与直线相交，如图，则直线与确定平面，点A是平面内任意一点，过点A有唯一直线，因此，，即有，由于点A的任意性，所以有无数条直线与异面直线都垂直.故答案为：无数三、解答题11．如图，为空间四边形，点，分别是，的中点，点，分别在，上，且，．(1)求证：，，，四点共面；(2)求证：，必相交且交点在直线上．【解析】（1）证明：连接，因为，分别是，的中点，，；所以，，所以，所以，，，四点共面．（2）证明：易知，又，所以，结合（1）的结论可知，四边形是梯形，因此直线，不平行．设它们交点为，平面，同理，所以平面，又平面平面，因此，即，必相交且交点在直线上．一、单选题1．在正方体中，是棱上的点且，是棱上的点，记与所成的角为，与底面所成的角为，二面角的平面角为，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】作于，过作交于，过作于，可得，，，在正方体中求得它们的正切值比较大小后可得结论．【详解】作于，则，，从而，而平面，因此有平面，过作交于，过作于，则，,由正方体性质易知为二面角的平面角，即，，平面，则，同理，，平面，所以平面，又平面，所以，所以是矩形，，由平面知，，由，得，即，均为锐角，所以，与重合时，三角相等．故选：B．2．如图，点A，B，C在球心为O的球面上，已知，，，球O的表面积为，下列说法正确的是（    ）．A．B．平面平面OBCC．OB与平面ABC所成角的正弦值为D．平面OAB与平面ABC所成角的余弦值为【答案】C【分析】根据条件，，计算出的长度，从而知三角形为，故知截面圆心为三角形边中点（记为），进而知平面平面ABC，再由球O的表面积为得出球的半径R，然后逐个分析选项即可.【详解】如图1，，，，由余弦定理得，，三角形为，取中点为，连接，则平面ABC，又，，.据此，绘制出图2，则对A选项，如图2，若，而，，而，显然不成立，故A错误；对B选项，如图2，假设平面平面OBC，过点C作OB垂线交OB于Q点，即，面，，又，与重合，即三角形为，而在三角形中，， ，三角形不是，故矛盾，因此，故B不成立；对C选项，如图1，平面ABC ，OB与平面ABC所成角为，，，，，故C成立；对D选项，如图2，取中点为，连接，，则，，平平面OAB与平面ABC所成角的平面角，中，，，，故D不成立．故选：C．3．已知正方体中，点M段上，记平面平面，则异面直线与l所成角为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由直线的平行关系可得出即为所求角.【详解】由图可知：，平面BDM，平面，所以平面BDM，又因为平面平面，平面，所以，故即为异面直线与l所成角，易知是等边三角形，所以．故选：C4．已知正方体中，是的中点，则下列结论正确的是（    ）A．与相交 B．C．平面 D．平面【答案】B【分析】对于A，作图直接观察，由异面直线的定义，可得答案；对于B，由线面垂直的定义，通过证明线面垂直，可得答案；对于C，根据正方体的性质，结合线面垂直判定定理，找出垂线，判断其垂直与已知直线的位置关系，可得答案；对于D，过所求平面中的点，作已知直线的平行线，根据线面位置关系，可得答案.【详解】对于A，由题意可作图如下：因为与异面，故A错误；对于B，连接在正方体中，如下图：，平面，因为平面，所以，因为，所以平面，平面，所以，故B正确；对于C，连接，如下图：可得平面，因为与不平行，所以不垂直平面，故C错误；对于D，取中点，连接，如下图：则，因为交平面于，不平行平面，即不平行平面，故D错误．故选：B.5．如图所示，在四棱柱中，平面ABCD，四边形ABCD为梯形，，且，过，C，D三点的平面记为，与的交点为Q，则以下四个结论：①；②；③四棱柱被平面分成的上下两部分的体积相等，④几何体是三棱台．其中正确的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】延长与相交于，连结，可证明，即可判断④；通过线段之间的比例即可判断①②；通过对四棱柱被平面分成的上下两部分的体积进行计算，即可判断③【详解】解：延长与相交于，连结，因为平面平面ABCD，所以在平面与平面ABCD的交线上，即，由及棱柱的性质可得平面与平面平行，所以几何体可看做是三棱锥被平面截剩下的一部分，故几何体是三棱台，故④正确；因为，且，所以，因为，所以，因为，所以，故①正确；因为，所以，即，故②正确；因为，所以，，因为面，所以，，，所以，故③错误；故选：C.6．如图，在棱长为的正方体中，M､N､P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则下列选项中错误的是（    ）A．存在点Q，使B､N､P､Q四点共面 B．存在点Q，使平面MBNC．三棱锥P-MBN的体积为 D．经过C､M､B､N四点的球的表面积为.【答案】C【分析】利用空间中的平行关系的转化可判断AB的正误，利用体积公式可判断C的正误，利用补体可求经过C、M、B、N四点的球的半径，从而可判断D的正误.【详解】如图，在正方体中，连接，，因为N，P分别是，的中点，所以，又因为，所以，所以，B，N，P四点共面，即当Q与重合时，B，N，P，Q四点共面，故选项A正确；连接PQ，，当Q是的中点时，因为，，所以，因为平面BMN，平面BMN，所以平面BMN，故选项B正确；连接，，，，由与平行且相等（都与平行且相等）得是平行四边形，，又分别是正方形的边的中点，则，所以，所以，故选项C错误；分别取，的中点E，F，构造长方体MADF-EBCN，则经过C，M，B，N四点的球即为长方体MADF-EBCN的外接球，设所求外接球的直径为2R，则长方体MADF-EBCN的体对角线即为所求的球的直径，即，所以经过C，M，B，N四点的球的表面积为，故选项D正确.故选：C二、填空题7．如图，圆锥的底面直径，其侧面展开图为半圆，底面圆的弦，则异面直线与所成角的余弦值为___________.【答案】##0.25【分析】分别取SA，BC，OA的中点M,N,P，连接OM，ON，MN，PM，PN，根据O为AB的中点，得到，是异面直线与所成的角（或补角）求解.【详解】解：如图所示：分别取SA，BC，OA的中点M,N,P，连接OM，ON，MN，PM，PN，因为O为AB的中点，则，所以是异面直线与所成的角（或补角），因为，所以，因为圆锥的底面直径，其侧面展开图为半圆，所以，解得，，在中，，则，由余弦定理得，所以，则，在中，，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为，故答案为：8．过正方体的顶点在空间作直线，使与。