高考数学一轮复习 第01讲 平面向量（练）-高考数学一轮复习讲练测（全国通用）（解析版） 讲练测.docx

第01讲 平面向量1．已知四边形是矩形，，，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平面向量数量积的运算律计算求值即可．【详解】 故选：C2．若平面向量两两的夹角相等，且，则（       ）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【分析】根据题意, 由平面向量两两的夹角相等可得夹角为或, 对夹角的取值分类讨论即可求出的值.【详解】由平面向量 两两的夹角相等, 得夹角为或,当夹角为时,当夹角为时, 故选：A3．已知非零向量、满足，且，则（     ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得出，利用平面向量数量积的运算性质求出的值，结合平面向量夹角的取值范围可求得结果.【详解】因为，则，，可得，因为，因此，.故选：C.4．在中，点在边上，．记，则（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据平面向量的加法法则和减法法则即可求解.【详解】如图所示：.故选：A5．若非零向量，满足，，则向量与的夹角为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，得，化简结合已知条件和夹角公式可求出结果.【详解】设向量与的夹角为（），因为，所以，所以，得，因为非零向量，满足，所以，因为，所以，故选：C6．已知向量且，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量相等列方程即可求解.【详解】因为，所以，解得．故选：D7．已知向量，满足，，则_____________.【答案】【分析】根据向量的运算公式及向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解.【详解】由题意，向量满足且，可得，解得，即.故答案为：.8．已知平面向量，，满足，且，则的值为________.【答案】##【分析】可化为，两边平方结合数量积的性质可求.【详解】因为，所以，两边平方可得，又，所以，故答案为：9．已知向量满足,，与的夹角为，，则_______．【答案】2【分析】由已知条件可得的值，再由可得，通过计算即可求出的值.【详解】因为，所以，即.又，,与的夹角为，则，所以．故答案为：2.10．已知平面向量，，且.(1)求向量与的夹角；(2)当k为何值时，向量与垂直？【解析】（1）因为，所以，由，得，所以，所以，又，所以，即向量与的夹角为.（2）因为向量与垂直，则，所以，即，解得.故当时，向量与垂直.11．已知向量满足．(1)求的值；(2)求的值．【解析】（1）因为，可得，解得.（2）因为，所以.1．已知向量满足，则向量与夹角的最大值是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意化简得到，得到，结合向量的夹角公式和基本不等式，即可求解.【详解】由题意知，可得，又由，可得，则，即，即，所以，当且仅当时，等号成立，所以向量与夹角的最大值是.故选：B.2． 中，若，则 的值为（       ）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】由已知条件利用两个向量的数量积的运算法则求得，再利用余弦定可得，根据，利用正弦定理统一成边的形式化简可得结果.【详解】因为在 中，若，所以，所以，因为，所以，所以由余弦定理得，化简得，所以，故选：B3．在等腰梯形中，，分别为的中点，为的中点，则等于（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平面向量的共线定理、平面向量的加法的几何意义，结合已知和等腰梯形的性质进行求解即可.【详解】因为在等腰梯形中，，分别为的中点，为的中点，所以可得：．故选：B.4．在中，已知，且，则为（　　）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．三边均不相等的三角形【答案】A【分析】由推出，由求得角，则答案可求．【详解】解：，分别表示，方向上的单位向量，在的角平分线上，，，又，，则与的夹角为，即，可得是等边三角形．故选：A.5．已知向量，且，则的值为（       ）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】A【分析】根据，利用坐标运算求得x，进而得到的坐标，再利用数量积的坐标运算求解.【详解】解：因为，所以，解得，所以，则，所以，故选：A6．设，，为平面内任意三点，则“与的夹角为钝角”是“”的（       ）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】设与的夹角为，，利用利用数量积的运算性质及余弦定理，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】设与的夹角为（），，当与的夹角为钝角时，因为，，所以，当时，所以，所以，所以，所以为钝角或，所以“与的夹角为钝角”是“”的充分不必要条件，故选：B7．已知任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转得到点，则向量在向量上的投影向量为___________.（用坐标作答）【答案】【分析】设点，求出，再利用投影向量的公式求解.【详解】解：设点，则，根据题意若将逆时针旋转，即可得，故，整理得，而由A、B两点坐标可知，故：，解得，则点P的坐标为，所以.所以向量在向量上的投影向量为故答案为：8．已知是抛物线上的点，F是抛物线C的焦点，若，则______．【答案】2023【分析】设，由求出，再利用抛物线的定义求解.【详解】解:设，因为是抛物线上的点，F是抛物线C的焦点，所以，因此，因为，所以，即．又由抛物线的定义，可得，所以．故答案为：20239．已知为内一点，且满足，则为的________心．【答案】重【分析】如图，取的中点，利用向量的加减法运算得到与共线，进一步得到三点共线，且，结合重心的性质可判断为的重心．【详解】如图，取的中点由．得，又，故，则与共线，又，有公共点，故三点共线，且，因此可得为的重心．故答案为：重.10．如图，在平行四边形中，，，E为边的中点，，若，则______.【答案】##0.125【分析】将和利用线性运算表示成和，运用数量积运算即可得到答案【详解】∵，∴，∴，∵，∴ ，∴，故答案为：三、解答题11．如图所示，在中，与相交于点.(1)用和分别表示和；(2)若，求实数和的值.【解析】（1）由，可得.（2）设，将代入，则有，即，解得，故，即.12．已知，是的中点(1)若，求向量与向量的夹角的余弦值；(2)若是线段上的任意一点，且，求的最小值．【解析】（1）因为，所以，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 令，则，所以,设向量与向量的夹角为，所以；（2）因为，所以，设，所以，当且仅当时，取得最小值．1．（2022年全国新高考II卷数学试题）已知向量，若，则（       ）A． B． C．5 D．6【答案】C【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：,,即,解得,故选：C2．（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）已知向量，则（       ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】先求得，然后求得.【详解】因为，所以.故选：D3．（2022年北京市高考数学试题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，设，，所以，，所以，其中，，因为，所以，即；故选：D4．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）已知向量满足，则（       ）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：∵，又∵∴9，∴故选：C.5．（2022年全国新高考II卷数学试题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（       ）A．直线的斜率为 B．C． D．【答案】ACD【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，设，则，则，代入抛物线得，解得，则，则，B错误；对于C，由抛物线定义知：，C正确；对于D，，则为钝角，又，则为钝角，又，则，D正确.故选：ACD.6．（2022年高考天津卷（回忆版）数学真题）在中，，D是AC中点，，试用表示为___________，若，则的最大值为____________【答案】     【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出，以为基底，表示出，由可得，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．法二：以点为原点建立平面直角坐标系，设，由可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，方程为，即可根据几何性质可知，当且仅当与相切时，最大，即求出．【详解】方法一：，，，当且仅当时取等号，而，所以．故答案为：；．方法二：如图所示，建立坐标系：，，，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时．故答案为：；．7．（2021年天津高考数学试题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．【答案】     1     【分析】设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值.【详解】设，，为边长为1的等边三角形，，，，为边长为的等边三角形，，，，，所以当时，的最小值为.故答案为：1；.四、填空题8．（2022年浙江省高考数学试题）设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．【答案】【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到，然后利用即可解出．【详解】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：,，设,于是，因为，所以，故的取值范围是.故答案为：．。