考点7-1 平行垂直与动点(文理）-高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）.docx

考点7-1 平行垂直与动点 1．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线相交的是（       ）．A．直线 B．直线 C．直线 D．直线．【答案】A【分析】通过空间想象直接可得.【详解】如图，易知，所以，且，所以为梯形，故与EF相交，A正确；因为，所以，故B错误；因为平面CDH平面EFNL，平面CDH，平面EFNL，所以直线CD与直线EF无公共点，故C错误；因为平面ADF，平面，故AD与EF异面，D错误.故选：A2．（2020·山东·高考真题）已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据异面直线的定义，垂直关系的转化，判断选项.【详解】A.，与相交，所以与异面，故A错误；B.与平面相交，且，所以与异面，故B错误；C.四边形是矩形，不是菱形，所以对角线与不垂直，故C错误；D.连结，，，，所以平面，所以，故D正确.故选：D3．（2023·全国·高三专题练习）如图，在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线不平行于平面的是（　　）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用线面平行的判定定理逐项判断可得出合适的选项.【详解】对于A选项，连接，如下图所示：因为且，所以，四边形为平行四边形，所以，，、分别为、的中点，则，所以，，因为平面，平面，所以，平面；对于B选项，连接，如下图所示：因为且，所以，四边形为平行四边形，所以，，、分别为、的中点，所以，，，因为平面，平面，所以，平面；对于C选项，连接，如下图所示：因为且，所以，四边形为平行四边形，所以，，、分别为、的中点，所以，，，因为平面，平面，所以，平面；对于D选项，连接、交于点，则为的中点，设，连接，因为、分别为、的中点，则，若平面，平面，平面平面，则，在平面内，过该平面内的点作直线的平行线，有且只有一条，与题设矛盾.假设不成立，故D选项中的直线与平面不平行.故选：D.4.（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，分别是棱的中点.给出以下四个结论：①直线与直线相交；②直线与直线平行；③直线与直线异面；④直线与直线异面.其中正确结论的序号为____(注：把你认为正确的结论序号都填上).【答案】③④【分析】利用异面直线的定义进行判断.【详解】平面，平面，且，根据异面直线的定义可得，直线与直线异面，故①错；类似的根据定义可说明直线与直线异面，直线与直线异面，直线与直线异面，故②错，③，④正确.故答案为：③④5．（2022·全国·高三专题练习）已知平面、和直线、，则下列说法：①若，，，则；②若，，，则；③若，，则；④若，，，，则.其中正确的说法序号为________．【答案】④【分析】利用面面垂直的性质定理逐项判断可得出结论.【详解】对于①，若，，，则与的位置关系不确定，①错；对于②，若、不垂直，则与不垂直，②错；对于③，若，，则与不一定垂直，③错；对于④，由面面垂直的性质定理可知④对.故答案为：④.6．（2021·北京·高三开学考试）在正方体中，点在正方形内，且不在棱上，则A．在正方形内一定存在一点，使得B．在正方形内一定存在一点，使得C．在正方形内一定存在一点，使得平面平面D．在正方形内一定存在一点，使得平面【答案】A【分析】对于选项A，当是的中位线时，可判断A选项；对于选项B，假设存在，则平面，或者平面，进而与已知矛盾判断B选项；对于选项C，假设存在，则可得到平面平面，进而由矛盾判断C选项；对于选项D，假设存在，则可得到平面平面，进而已知矛盾判断D选项.【详解】对于选项A，连接、交于点P，连接、交于点Q，连接、，因为是的中位线，所以，故A项正确；对于选项B，在正方形内如果存在一点Q，使得，由于平面，所以平面，或者平面，而P、Q在平面的两侧，与平面相交，故B项错误；对于选项C，在正方形内如果存在一点Q，使得平面平面，由于平面平面，所以平面平面，而平面与平面相交于点，故C项错误；对于选项D，在正方形内如果存在一点Q，使得平面，由于平面，所以平面平面，而P、Q在平面的两侧，所以平面与平面相交，故D项错误．故选：A7．（2011·浙江·高考真题（理））下列命题中错误的是（　　）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【答案】D【分析】利用面面垂直的性质定理和线面平行的判定定理证明A正确；利用面面垂直的判定定理证明B正确；利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理证明C正确；举反例可得D错误.【详解】对于，设平面∩平面=直线a,设直线，且ba,则显然直线平面，根据线面平行的判定定理可得直线b，故正确；对于B，如果内存在直线与平行，则由面面垂直的判定定理可知平面⊥平面，与已知矛盾，故正确；对于C，设平面α平面，平面β平面γ,在内作直线，由面面垂直的性质定理可得，又∵直线,∴,又∵α∩β＝l，∴为相交直线，又∵平面，∴l⊥平面γ，故C正确；平面α⊥平面β，设平面α∩平面β，在平面α内与平行的直线都不与平面垂直，故 D项错误．故选:D.8．（2022·全国·高考真题（文））在正方体中，E，F分别为的中点，则（       ）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面【答案】A【分析】证明平面，即可判断A；如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，分别求出平面，，的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.【详解】解：在正方体中，且平面，又平面，所以，因为分别为的中点，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正确；选项BCD解法一：如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，则，，则，，设平面的法向量为， 则有，可取，同理可得平面的法向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，则，所以平面与平面不垂直，故B错误；因为与不平行，所以平面与平面不平行，故C错误；因为与不平行，所以平面与平面不平行，故D错误，故选：A.选项BCD解法二：解：对于选项B，如图所示，设，，则为平面与平面的交线，在内，作于点，在内，作，交于点，连结，则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角，由勾股定理可知：，，底面正方形中，为中点，则，由勾股定理可得，从而有：，据此可得，即，据此可得平面平面不成立，选项B错误；对于选项C，取的中点，则，由于与平面相交，故平面平面不成立，选项C错误；对于选项D，取的中点，很明显四边形为平行四边形，则，由于与平面相交，故平面平面不成立，选项D错误；故选：A.9.（2022·广东惠州·高三阶段练习）如图所示，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，，M是PC上的一动点，当点M满足___________时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为正确的条件即可）【答案】（或，等都可）【分析】先确定所填答案，如，再证明平面MBD⊥平面PCD即可，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质可得，从而可得平面MBD，再根据面面垂直的判定定理即可得证.【详解】解：可填，由为菱形，则，∵平面，平面，所以，又，∴平面，又平面，∴，又，，所以平面MBD，又因平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.故答案为：.（或，等都可）10．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））如图，在边长为4的正三角形，E为边的中点，过E作于D．把沿翻折至的位置，连接．翻折过程中，其中正确的结论是_________①；②存在某个位置，使；③若，则的长是定值；④若，则四面体的体积最大值为【答案】①③④【分析】根据线面垂直的性质判断①，②；取中点，可证明，从而可计算出，判断③；折叠过程中，不动，当到平面的距离最大时，四面体的体积最大，从而计算出最大体积后判断④．【详解】因为，平面,所以平面，又平面，所以，①正确；若存在某个位置，使，如图，连接，因为，所以，连接， 中，，平面，所以平面，而平面，所以，由选项①的判断有，且平面，平面，所以平面，又平面，所以，则，这是不可能的，事实上，②错；设M是中点，连接，则，所以，从而，D是中点，所以，若，即，所以，所以，且由得，所以，边长为则4，则为定值，③正确；折叠过程中，不变，不动，当F到平面的距离最大时，四面体的体积最大，由选项C的判断知当平面时，F到平面的距离最大且为，又，所以此最大值为，④正确，故答案为：①③④．11.（2022·浙江省江山中学模拟预测）如图，在单位正方体中，点P是线段上的动点，给出以下四个命题：①异面直线与直线所成角的大小为定值；②二面角的大小为定值；③若Q是对角线上一点，则长度的最小值为；④若R是线段上一动点，则直线与直线不可能平行．其中真命题有（       ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】利用正方体的性质，结合空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，逐项判断正误.【详解】解：对于①，由正方体的性质可知，平面，又平面,故，异面直线与直线的所成的角为定值，①正确；对于②，平面即为平面，平面与平面所成的二面角为定值，故二面角为定值，②正确；对于③，将平面沿直线翻折到平面内，平面图如下，过点做，，,此时，的值最小.由题可知，,,，则，，故,又，故的最小值为，故③正确.对于④，在正方体中易证平面，设，则即为二面角的平面角，又正方体边长为1，故，则,由余弦定理得，故，同理,故在上必然存在一点，使得二面角为，即平面平面，平面与平面的交线为，则，过点作的垂线.此时平面，又平面，故.故④错误.故选：C.12．（2022·全国·高三专题练习）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F在侧面上运动，且满足平面.以下命题中，正确的个数为（       ）①侧面上存在点，使得；②直线与直线所成角可能为30°；③设正方体棱长为1，则过点E，F，A的平面截正方体所得的截面面积最大为.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】先依据题给条件求得点F在侧面上的轨迹为线段，当点为中点时，，则①判断正确；求得直线与直线所成角最大值否定②；举特例否定③.【详解】分别取的中点，连接由，可得四边形为平行四边形，则，又，,则平面平面， 则当点落段上时，平面，则平面即满足题意的点F在侧面上的轨迹为线段①取中点P，连接，△中，,，则又，则,即当F为中点时，有.判断正确；②当点F段上运动变化到端点K或H时，直线与直线所成角取得最大值，此时直线与直线所成角为（或）又，则.则直线与直线所成角不可能为30°.判断错误；③设正方体棱长为1，当F为与HK。