《数学活动》教学设计5-九年级上册数学人教版.doc

数学活动课：探索费马点 教学设计【 教 材 】人教版数学九年级上册　　【课时安排】1课时【学情分析】学生学习和掌握了直角三角形和旋转知识基础之上，进一步学习利用旋转方法和勾股定理解决与线段和的最小值问题以费马点有关的历史知识为背景展开对线段之和的最小值问题的探究，激发学生的学习兴趣教学目标】知识技能：1、理解并掌握勾股定理，能运用旋转方法和勾股定理解决实际问题2、了解费马点的文化背景，体验费马点的探索过程数学思考：在费马点的探索过程过程中，发展合情推理能力，体会利用旋转方法解决数学问题问题解决：1、通过探索费马点活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维 2、在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究过程情感态度：1、通过对费马及费马点历史的了解，增强学生对数学历史文化的了解，激发学生学习兴趣2、在探究活动中，培养学生的合作交流意识和积极探索精神【教学重点】1、掌握费马点的内容并能理解并证明费马点 　2、运用旋转和勾股定理解决与费马点有关的数学问题教学手段】多媒体投影、课件【教学过程设计】教学环节教 学 内 容教师活动学生活动设 计 意 图创设情境 知识探究一、情境导入　　皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat），法国律师和业余数学家。

他在数学上的成就不比职业数学家差，他对解析几何、微积分、概率论、数论有很大的的贡献费马大定理是大家所熟悉的被誉为“业余数学家之王”　　费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”．1.若三角形3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心.2.若三角形有一内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是距离和最小的点.二、知识探究 活动一：画费马点　1、三角形各个内角均小于120以△ABC的任意两边向外分别作等边三角形，△ABD，△ACE，连接CD，BE交于点P，点P就是△ABC的费马点；即PA＋PB＋PC最小　当△ABC为等边三角形时,此时内心与费马点重合 　2、若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求的费马点活动二：证明费马点例1：如图，分别以△ABC的边AB，AC向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，线段BE与CD相交于点O，连接OA．（1）求证：OA平分∠DOE．（2）求证：∠BOC＝∠AOB＝∠AOC＝120°；例2、点P是△ABC内任一点，点P在什么位置时，PA＋PB＋PC最小。

归纳：费马点问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．教师介绍数学家费马以及费马点教师介绍画费马点的方法，学生动手画图：教师引导学生进行证明在本次活动中，教师应关注：学生对费马点及的历史是否感兴趣；（2）探索问题中所运用了的数学知识与方法． 了解数学历史与数学文化．学生初步了解费马点学生画图学生自己证明创设情境，激发学生学习热情，同时为探索费马点提供背景材料．让学生感受数学就在我们身边．通过对特殊情形的探究得到结论通过探索发现，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望.知识应用三、知识应用活动三：费马点在三角形中应用例3：已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点(Fermat point)，已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P就是△ABC的费马点，若P就是△ABC的费马点，若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF= __________.解：如图：等腰Rt△DEF中，DE=DF= ，过点D作DM⊥EF于点M，过E、F分别作∠MEP=∠MFP=30°，则EM=DM=1，∠PDM=30°，由勾股定理得：PD=PF=，则PM= ，故PE=1-，则PD+PF+PE=2×+1-= +1．活动四：费马点在正方形中应用例4、已知，在正方形ABCD中，AB＝2，点P是正方形ABCD内任一点，连接PA，PB，PC求PA＋PB＋PC的最小值。

如图，把△APB绕A点顺时针旋转60°得到△AP′B′，连接PP′．则△APP′为等边三角形，AP= PP′，BP =P′B′，∴PA+PB+PC= P′C′+ PB+ PP′ ∵点B′可看成是线段AA绕A点顺时针旋转60°而得的定点，B′C为定长 ， ∴当B、P、P′、C′ 四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．最小值为B′C∵BC=BB′=2, ∠EBB'=30°,∴B'E=1,BE= ,EC=2+.在Rt△B'EC中，由勾股定理解得：B'C＝+,∴PA＋PB＋PC的最小值是+教师提出问题，运用所学的知识解决问题学生在独立思考，．通过解决问题，调动学生思维的积极性，激发学生探求新知的欲望． 拓展提高 活动五:费马点在矩形形中应用已知，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内任一点，点P是BC边上一动点，求PA＋PD＋PE的最小值认识数学的本质：数学来源于生活，体验学习数学的快乐，巩固所学知识小结归纳 活动五 我们今天学习了什么？（引导学生回忆、归纳总结1.费马点问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．2、费马点的应用。

利用旋转变换可以将分散的线段集中到一条线段上可以利用勾股定理等求出几条线段的和这节课你学到了什么，你有哪么收获？。