2024年人教版八年级上册数学同步训练：最短路径（解析版）.pdf

第 05讲最短路径学习目标课程标准学习目标1.掌握最短路径的基本原理，即两点之间线段最短，最短路径的基本原理最短路径的基本模型点到直线的距离最短2.掌握最短路径的几种模型，能够熟练的运用轴对称，垂直平分线的性质解决相应题目思维导图基本模型两点之间找段最短直线同剜两点到京细9距离角内一点与角两边上的点构成的三角形周长蒯内两点号”电 逑）点构成的四边形周笆造桥选址知识点0 1 最短路径的基本原理1.最短路径的基本原理:两点之间，线段 最短如图，号线最短 点 到 直 线 的 距 离 最短如图，P C 最短垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离 相等如图，是垂直平分线，CA=CB知识点0 2 最短路径的基本类型1直线上一点到同侧两点的距离之和最短1.如图，存在直线/以及直线外的点P 和点0,直线/上存在一点加，使得的值最小：方法点拨：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，线段与直线的，交点即为要找的点M二 _/解：如图，作点P 关于直线/的对称点p连接P 0,尸 0 与直线/交于点跖 则此时最小证明：与 P 关于直线/对称直线I是 P P 的 垂直平分线：.MP=M P：.M P+M Q=MP+M Q=P O o.儿 0+M。

此时有最小值，为FO的长度题型考点：基本作图求值计算即学即练1】1.如图，在 正 方 形 网 格 中 有 N 两点，在直线/上求一点尸使尸M+PN最短，则点P 应 选 在（）A.4 点 B.8 点C.C 点 D.点【解答】解：如图，点是点M 关于直线/的对称点，连接AT N,则 W N 与直线/的交点，即为点尸，此时尸A什PN 最短，：M N 与直线/交于点C,二点P 应选C 点.故选：C.【即学即练2】2.如图，在等边4B C 中，3 c 边上的高AD=6,E 是高4 D 上的一个动点，尸是边4 8 的中点，在点E 运动的过程中，5+即存在最小值，则这个最小值是（）【解答】解：如图，连接CE,等边4 8 C 中，是 8 c 边上的中线，4 0 是 3 c 边上的高线，即4 0 垂直平分8C,:.EB=EC,：.BE+EF=CE+EF,.当 C、F、E 三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF,:等 边 N 8C中，尸是A S边的中点，：.AD=CF=6,即E F+B E的最小值为6.故选：B.DBC知识点0 3最短路径基本类型一一角内一点与角两边构成的三角形周长最短1.如图，已知NMON以及角内一点尸，角的两边。

州 与 ON上存在点/与点8,使得尸4 8的周长最小：方法点拨：分别作点尸关于州 与 ON的对称点P与 广，连接夕与O M、O N的 交 点/与 2即为要找到的点解：如图，分别作点P关于O M 与 O N的对称点P与P ,连接P P.P尸 与O M、ON的分别交于点/与点8,连接尸/、P B 以及4 B,此时尸4 5 的周长最小证明：与 P关于对称，尸与胃关于ON对称：.O M是PP的 垂直平分线，O N是PP的 垂直平分线AP =AP,BP =BP：.C P A B=P A +A B +P B =4 p +BP=P P：./PAB的周长最小题型考点：基本作图求值计算即学即练1】3 .如图，已知/O,点 P为其内一定点，分别在/O的两边上找点/、B,使尸N8周长最小的是（）【解答】解：分别作点P关 于/的两边的对称点尸1，P 2,连接尸1 尸 2 交/的两边于4 B,连接尸/,P B,此时 P/8 的周长最小.故选：D.【即学即练2】4.如图，已 知 的 大 小 为 a,尸 是 内 部 的 一 个 定 点，且尸=5,点 E、尸分别是4、上的动点，若 尸 周 长 的 最 小 值 等 于 5,则。

AO F BA.30 B.45 C.60 D.90【解答】解：如图，作点尸关于CM的对称点关于0 8的对称点交OA于E,0 5于F.此时，尸环的周长最小.点尸与点4对称，.CM垂直平分尸C,：.ZCOA=ZAOP,PE=CE,OC=OP,同理，可得PF=DF,OD=OP,：./COA+/DOB=ZAOP+ZBOP=/AOB=a,OC=OD=OP=5,：.ZCOD=2a.又/PEF 的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=5,：.OC=OD=CD=5,COD是等边三角形，A2a=60o,.*.a=30.故选：A.知识点0 4最短路径基本类型一一角内两点与角两边构成的四边形周长最短1.如图：己 知 以 及 角 内 两 点 点 尸 与 点0,角的两边上分别存在“、N使得四边形PQAW的周长最小:方法点拨：分别作点关于较近直线的对称点，连接两个对称点的线段与边6M与 相 交 与 点M与点N,此时点加与点N即为要找的点解：如图，作 点0关 于区的对称点点P关 于 的 对 称 点C,连 接0 VDC,DC与/交 于 点 与0 2交于点N,连接MN,PN,PQ此时四边B形尸QMN的周长最下。

证明：与关于CM对称，尸与C 关于2 对称0 A是Q D的 垂 直 平 分 线，0 B是P C的 垂直平分线：.MD=M O,NP =N CoC四边形 p&w =PQ+QM+MN+PN P Q+M D +M N+N C=P Q+D C o.四边形P Q M N的周长最小题型考点：基本作图即学即练115.已知：Z A O B,点和点N,试在0 4、上分别找点P、0,使四边形M N0P的周长最短.（尺规作【解答】解：如图，四边形M V0P为所作.XI知识点0 5 最短路径基本类型一一造桥选址问题1.如图：平行河岸两侧各有一村庄P、Q,现在河上修建一座垂直于河岸的桥，使得村庄P 到村庄Q的路程最短：P方法点拨：在其中一个村庄作垂直于河岸的直线，使其长度等于桥的长度，连接端点与另一村庄，直线与另一村庄岸边的交点即为选址地点如下图:.po题型考点：基本作图即学即练1】6.如图，/和 8 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥M N,使 从/到 8 的 路 径 最 短 的 是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（）c.（a v 垂直于方）【解答】解：根据垂线段最短，得 出 是 河 的 宽 时，最短，即直线。

或直线6）,只要W+8N最短就行，即过/作河岸a 的 垂 线 垂 足 为 ，在 直 线 上 取 点/,使 4等于河宽.连接15交河的6 边岸于N,作 垂 直 于 河 岸 交边的岸于M 点，所得儿W 即为所求.B题型精讲题型0 1 最短路径的作图【典例1】小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区/,8 提供牛奶，要使8 两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C 的位置应该在（）居民区AD.【解答】解：如图：作点/关于街道的对称点H,连接H 8 交街道所在直线于点C,：.A C=AC,：.AC+BCA B,在街道上任取除点C 以外的一点C ,连接C ,BC,AC,：.AC+BC=A C +BC,在C 3 中，两边之和大于第三边，：.A C +BC A B,：.AC+BC AC+BC,点 c 到两小区送奶站距离之和最小.故选：C.【典例2】如图，河 道/的 同 侧 有 N 两个村庄，计划铺 设 管 道 将 河 水 引 至 N 两村，下面四个方案中，管道总长度最短 的 是（)NM【解答】解：作点M关 于 直 线/的 对 称 点,连接N交直线”于点Q,则尸+NP=M N,此时管道长度最短.M 故选：B.【典例3】如图，直线3 /2表示一条河的两岸，且 现 要 在 这 条 河 上 建 一 座 桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄尸经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（）【解答】解：作P尸垂直于河岸勿使勿 等于河宽,连接0 P ,与另一条河岸相交于R作 也，直线/1于点E,则E/P P且 所=P P ,于是四边形FE PP 为平行四边形，故P F=P E,根 据“两点之间线段最短，Q P 最短，即尸E+尸。

最短.故C选项符合题意,故选：C.【典例4】将军要检阅一队士兵，要 求（如图所示）；队伍长为2排 开（从点P到点Q）；将军从马棚出发到达队头尸，从P至检阅队伍后再赶到校场N.请问：在什么位置列队（即选择点尸和可以使得将军走的总路程M P+P Q+Q N最短?【解答】解：如图，线路时，的值最小.【典例5】如图，山娃星期天从/处赶了几只羊到草地/i放羊，然后赶羊到小河饮水，之后再回到2处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为它设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位置.草地,-M.B-k【解答】解：作出点/关于人的对称点E,点8关 于 的 对 称 点R连 接 环，交于/1，2于点点D,则/C,CD,8是他走的最短路线，放羊的位置为点，饮水的位置为点.【典例6】如图：要求在/1、%上找出M,N 两点.使四边 形 尸 的 周 长 最 小，在图上画出，N 的位 置.（不写画法，保留作图痕迹）【解答】解：作 P 关于71的对称点尸，作关于6 的对称点2 连 接 P Q ,分别交4 和 乃 于 点 和 N 点，则尸”+跖 斗=尸,M+MN+Q N=P Q 的值最小，此时Q 的值最小，即四边形PQNM的周长最小.故上图中的新、N 两点就是所要求作的点.题型0 2 最短路径的计算【典例1】如图，等边4 8 C 中，。

为 N C中点，点尸、分别为4 8、4 D 上的点，且 8尸=/0=4,Q D=3,在 8上有一动点E,则 PE+QE的最小值为（）【解答】解：如图，：NBC是等边三角形，：.BA=BC,BDLAC,/0=4,03,：.AD=DC=AQ+QD=1,作点关于B D 的对称点Q ,连接PQ，交BD于E,连接Q E,此时PE+EQ的值最小.最小值PE+QE=PE+EQ=PQ,AQ=4cmf AD=DC=1,：.QD=DQ=3,：.CQr=BP=4,；AP=AQ=10,V Zyl=60 ,J.A P Q 是等边三角形,：.PQ=PA=W,J.PE+QE的最小值为10.故选：C.【典例2】如图，CD是N 8C的角平分线，的面积为12,8 c 长为6,点,尸分别是CD,NC上的动点，则4E+E尸的最小值是（）【解答】解：作 A 关于CD 的对称点H,:CD是NBC的角平分线，.点H 一定在BC上，过作HF_L4c于尸，交CD于E,则此时，4E+EF的值最小，NE+E尸的最小值=A R过/作/G_L8C于 G,.N8C的面积为12,8 c 长为6,：.AG=4,垂直平分/，：.AC=CH,；.S CH=4C，H F=3C H，AG,2 2；.HF=AG=4,C.AE+EF的最小值是4,故选：B.B【典例3】如图，四边形N8CZ）中，NBAD=a,N B=/D=90,在BC、CD上分别找一点M、N,当/M N 周长最小时，则的度数为（）A.a B.2a-180 C.180-a D.a-902【解答】解：延 长 到 H 使得8/=A B,延长/。

到/使得=A D,连接A 与BC、CD分别交于点M、N.V ZABC=ZADC=90,：.A.A 关于8 C 对称，/、A 关于CD对称，此时/儿W 的周长最小，,:BA=BA,MB LAB,同理：N A N A,=/M AB,ZA=ZNAD,:/AM N=/A +NMAB=2NA,ZANM=ZA +Z N A D 2 Z A,：.ZAMN+ZANM=2(N A +A A ),?ZBAD=a,：.Z A +Z.A =180-a,：.ZAMN+ZANM=2X(180-a)=360-2a.：.ZM AN 180-(360-2a)=2180,故选：B.【典例4】如图，4 48=30,点是它内部一点，O D=m.点、E,尸分别是CM,上的两个动点，则/周A.0.5m B.m C.1.5m D.2m【解答】解：作点关于4的对称点G,作的 对 称 点 连 接 G”交 4 0 于点,交OC于点F,连接GO,OH,由对称性可知，GE=E。