全国数学奥林匹克竞赛 [11全国高中数学联赛试题与参考答案] -网.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑，页眉双击删除即可全国数学奥林匹克竞赛 [11全国高中数学联赛试题与参考答案] -网 2021年全国高中数学联合竞赛一试试题〔A卷〕 考试时间：2021年10月16日 8：00—9：20 一、填空题：本大题共8小题，每题8分，共64分把答案填在横线上． 1．设集合，若中全部三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合 ． 2．函数的值域为 ． 3．设为正实数，，，则 ． 4．假如，，那么的取值范围是 ． 5．现支配7名同学去参与5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参与同一个项目，每个项目都有人参与，每人只参与一个项目，则满足上述要求的不同支配方案数为 ．〔用数字作答〕 6．在四面体中，已知，，，则四面体的外接球的半径为 ． 7．直线与抛物线交于两点，为抛物线上的一点，，则点的坐标为 ． 8．已知C，则数列中整数项的个数为 ． 二、解答题：本大题共3小题，共56分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．〔本小题总分16分〕设函数，实数满足，，求的值． 10．〔本小题总分20分〕已知数列满足：R且，N． 〔1〕求数列的通项公式； 〔2〕若，试比较与的大小． y x O P A B 11．〔本小题总分20分〕作斜率为的直线与椭圆：交于两点〔如下图〕，且在直线的左上方． 〔1〕证明：△的内切圆的圆心在一条定直线上； 〔2〕若，求△的面积． 2021年全国高中数学联合竞赛加试试题〔A卷〕 考试时间：2021年10月16日 9：40—12：10 一、〔此题总分40分〕如图，分别是圆内接四边形的对角线的中点．若，证明：． A B C D Q P 二、〔此题总分40分〕证明：对任意整数，存在一个次多项式 具有如下性质：〔1〕均为正整数； 〔2〕对任意正整数，及任意个互不相同的正整数，均有 ． 三、〔此题总分50分〕设是给定的正实数，．对任意正实数，满足的三元数组的个数记为． 证明：． 四、〔此题总分50分〕设A是一个的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个方格表为“好矩形〞，若它的全部数的和为10的倍数．称A中的一个的小方格为“坏格〞，若它不包含于任何一个“好矩形〞．求A中“坏格〞个数的最大值．第 2 页 共 2 页。