函数的单调性教案（通用）.doc

函数的单调性教案【教学目标】1．结合图象，理解函数单调性定义；2．掌握函数单调性的判定和证明方法；3．了解单调性定义的几种变形．【教学重点】函数单调性的判定【教学难点】利用复合函数判断单调性【例题设置】例1（单调性的证明），例2（复合函数的单调性证明），例3（抽象函数单调性证明）【教学过程】一、例题引入〖例1〗　设，且．⑴　求的值；⑵　当时，判断的单调性并证明；⑶　试判断在上的单调性．解：⑴　由可得由①得，代入②并解得由于，所以，从而⑵　当时，是单调递增函数．下证之法一：由⑴知，任取，则∵，∴，故∴即增增故在上单调递增．法二：，当时，，故∴在上单调递增．⑶　定义域关于轴对称∵∴为奇函数，其图象关于原点对称由⑵知在上单调递增，故在上单调递增．★点评：1．对于函数单调性的证明应优先考虑导数法；2．函数图象的作法渐近线：和轴顶点：具体图象如右图所示〖例2〗　求函数的单调区间．分析：函数是由复合而成．解：由得函数的定义域是令，则∴在上是增函数，在是减函数，在上是减函数∴的单调减区间是，单调增区间是．★点评：1．函数的单调性的讨论也必须在定义域上讨论；2．复合函数的单调规律是“同则增，异则减”．二、要点回顾1．定义：如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有（或），那么就说在这个区间上是增函数（或减函数）．2．函数单调性的判定方法⑴　定义法．其步骤为：①设值；②作差；③变形；④判号；⑤结论．⑵　导数法．如果在某个区间内（或），那么在这个区间内为增函数（或减函数）两个函数的积不能判断单调性，如：①②⑶　图象法．利用几何变换作出其图象，由图象对单调性进行判断⑷　复合函数判断法．同增异减⑸　利用已知函数的单调性进行判断．①　奇（偶）函数在关于轴对称的两个区间上有相同（反）的单调性；②　两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；即增＋增为增；减＋减为减；③　一个增（减）函数与一个减（增）函数的差为增（减）函数；（与②一致）；④　互为反函数的两个函数有相同的单调性；⑤　若在区间上是增（减）函数，那么在的任一子区间上也是增（减）函数．如在上为减函数，则在上也为减函数．★对于函数单调性的证明，只能用定义法和导数法，优先考虑导数法．分段函数的单调性在习题讲评时讲，文科不挖得过深．〖例3〗　函数对任意的，都有，并且当时，．⑴　求证：是上的增函数；　⑵　若，解不等式．证明：⑴　设，且∴，则∵对任意的，都有∴∴在上是增函数⑵　令，则，又，故原不等式即为由⑴知在上是增函数，∴，解得，故原不等式的解集为．【课堂小结】1．函数的单调性的讨论也必须在定义域上讨论；2．函数的判定方法有5种，但证明方法只有2种，证明时优先考虑导数法，证明抽象函数的单调性基本上都是采用定义法【教后反思】 。