中考高分冲刺-冲刺4基本图形性质与功能的再认识.doc

中考高分冲刺－冲刺四基本图形性质与功能的再认识 所有几何图形问题的解决，几乎都要回归到基本图形的性质，而能否得心应手地运用基本图形，则要靠以下两点：第一点，对基本图形性质掌握的深刻程度；第二点，基本图形的各性质都是以怎样的方式发挥着作用的 正是为了帮助同学们学好、用好这两点，我们特将最重要的一些基本图形性质与功能加以梳理和解析，以便为各类几何图形问题的解决打下牢固的基础一、线段的性质和线段中点的功能 应掌握好： 1、线段的两种变换性质； 2、线段中点的三项功能1、线段的变换性质 从“变换”的角度说，线段既是轴对称图形（它所在的直线和它的垂直平分线都是对称轴），又是中心对称图形（中点就是对称中心）例1 如图，是任意三角形，请画出和具有全等的关系BACABCO【观察与思考】如果把要画的看作是由变换而来的，那么这个变换使线段BC变成自身，联想到线段的变换性质，就应有三种结果 （1） （2）解：如图（2）（其中直线是BC所在的直线，点为点A关于直线的对称点；直线是线段BC的垂直平分线，点为点A关于直线的对称点；点O是线段BC的中点，点和点A关于点O为对称都和全等。

证明】正是线段的变换性质成为本题解法的基础和向导的2、线段中点的三项功能（1）构造三角形的中线，特别是直角三角形的中线 三角形的中线，特别是直角三角形斜边上的中线，在相关问题的解决中常有重要的作用例2 如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AG//DB，交CB延长线于点G 若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论CADGBEF 【观察与思考】首先，由，GB//AD，AG//DB，知四边形AGBD已是平行四边形，其次，由四边形BEDF是菱形，而点E是AB的中点，即ED是中AB边上的中线，且DE=EB=AE，立刻知道，即四边形AGBD是矩形 解：（略）【说明】正是由对直角三角形斜边上中线性质的深刻认识，直接诱发出从DE=EB=AE，导出2）构造三角形的中位线例3 如图（1），已知，AD是的中线，E是AD上一点，连结CE并延长交AB于点FABDCEF （1）若E是AD的中点，则 ；（2）若AE：ED ；（3）若AE：ED，则 ； （1）【观察与思考】（1）如图（2），作DM//CF，交AB于点M，EF为的中位线，得AF=FM，BADCEFMDM为的中位线，得BM=MF。

可知2）如图（3），作DM//CF，交AB于点M，易知，∽,得又DM为的中位线，得DM=FM， （2） BADCEFM（3）类比于（1）和（2），应有（其实可有与（2）类似的推演过程）【说明】本题解决的关键就在于构造出的中位线DM3）构造中心对称图形线段的中点是该线段的对称中心，这一性质的延伸，就是以它为基础作“中心对称构造” （3）（特别是中心对称型 全等三角形）来使相关问题获得解决例4 已知，如图D是的边BA延长线上一点，有AD=BA，E是边AC上一点，且DE=BCABCED 求证：【观察与思考】以BD及其中点A为基础，构造“中心对称型”三等三角形 解法提示：如下面图（1），（2），（3）ABCEDFABCEDGABCEDNM （2） （3） （1）方法一：如图（1），延长CA到F，使FA=CA，连结FD，有，DF=BC=DE，得 方法二：如图（2），分别作交CA的延长线于N，垂足为M，则有得，DN=BN，进而推得，得方法三：如图（3）延长CA到G，使得AG=EA，则得再由BG=DE=BC，得 特别说明：我们借助基本图形的变换性质，能更好更快地发现图形或图形元素之间的关系，但要证明还需要按教材上的演绎形式来论述。

简单说就是“借变换发现，按原格式证明”本书均按此方式来做，以后不再重申ABEC 例5 操作： 如图，点O为线段MN的中点，直线PQ与线段MN相交于点O，利用图（1）画出一对以点O为对称中心的全等三角形MNPQO 根据上述操作得到的经验完成下列探究活动DF （1） （2）探究：如图（2），在四边形ABCD中，AB//CD，E为BC边的中点，与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论观察与思考】对于图（1），只要在直线PQ上点O的两侧分别取点E，F使OE=OF，就有（图略）对于图（2），延长AE到G，使EG=EA，连结CG，如图（2`）由“操作”的结论可知， 得AB=GC，即CG//AB，而CF//AB，可知点F在GC上，而由，得AF=GF这样就有解：（略）ABECGFD （2`） 由以上题目的解法研究看出： 凡是涉及线段（包括多边形的边）及其中点的的问题，应注意从线段的变换性质和它的中点的三项功能考虑二、角平分线的功能 角平分线主要功能有： 1、以角平分线的对称性质作轴对称构造；2、角平分线与平行线结合构造出等腰三角形 1、角平分线所在直线为轴构造轴对称图形 角平分线最重要的性质是它所在直线为“角”这个图形的对称轴，其他的性质都可以看作是由此导出的。

因此，遇有角平分线的问题时，首先应当想到它的轴对称功能ABCDEO 例1 如图，在中，，AD，CE分别为的平分线，求证：AC=AE+CD 【观察与思考】根据角平分线轴对称功能，首先想到在AC上作出AE关于AD的的对称图形AF（如图（2）），进而希望有CF和CD也关于CE对称，这就引导我们获取了如下的证法 证明：取AC上的点F，使AF=AE，连结OF在中，AF=AE，AO公用， （1）又因为ABCDEOF （2）在中CO公用 【说明】本题的关键步骤就是以“角平分线的轴对称功能”为基础去构造全等三角形 ABEC例2 如图，已知点A（0，1）是轴上一个定点，点B是轴上一个动点，以AB为边，在外部作过点B作交AE于点C，设点C的坐标为（），当点B在轴上运动时，求关于的函数关系式观察与思考】先从几何图形的角度来看，为此作轴于点D（如图（2）），当点B在的正半轴上时，现考虑CD与OD之间的函数关系式ABECD 再由AB为的平分线，沿着它是对称轴思考：若作CB的延长线交轴于，由可知和CB关于AB对称，即B为的中点，再结合轴，轴，则关于点B为中心对称，得，再由的相似关系即可导出欲求的函数关系式。

解：作轴于点D，延长CB，交轴于点，则的平分线，且，得 （2）在中， 在（同为的余角）∽ 得，容易知道，这个关系在和取负数值时，也是成立的 可以看出：不论在什么样的综合题中，角平分线的“轴对称功能”，都常是解法获得的有力指导，因此，应当时刻注意发挥角平分线这一功能的重要作用2、角平分线与平行线结合构造出等腰三角形 我们知道，若OP是的平分线，则与OA平行，与OB平行，与OP平行的直线，就会分别与另外两直线相交出等腰三角形来：即 情形一，与OA平行的直线MN和OB，OP所在的直线相交如图（1）和（2）：OBPAMNCD1231BPAO2CNMD34 （1）MN和OB，OP交出等腰三角形COD， （2）MN和OP，OB的反向延长线交出等腰三角形COD，其中CO=CD 其中CO=CDOBPANMCD1224OBPNMADC2134情形二，与OP平行的直线MN和OA，OB所在的直线相交如图（3）和（4）（3）MN和OB的反向延长线及OA交出等腰三角形 （4）MN和OA的反向延长线及OB交出等腰三角形DCO，其中OC=OD，（） OCD，其中OC=OD。

情形三，与OB平行的直线MN和OA，OP所在的直线相交，与情形一完全类似，也可得两种形式的等腰三角形由此可知：①角平分线除了造出“等角之外”，它在许多情况下还可以造出“等边”②平行四边形（包括菱形，矩形，正方形）和梯形，本身就有平行线，因此，当这些图形中再有角平分线时（菱形的对角形已经是角平分线），必然就会形成等腰三角形，这对解决许多相关问题提供了依据 角平分线这一功能有许多应用，如下边的例子；ABCDMFE例3 如图（1），在平行四边形ABCD中，线段AE，BF分别平分，交CD于点E，F，线段AE，BF相交于点M （1）试说明：； （2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明 【观察与思考】注意到平行四边形对边平行和角平分线的功能，解法易得解：（1）2）有结论：DF=CE，理由如下：在中，同理有CF=CB由以上的例题可以看出： 当题目中有直接给出或隐含的角平分线条件时，除了构成等角外，还应特别注意从角平分线两个方面的功能来分析和认识图形：Ⅰ以角平分线为轴，构成怎样的对称图形？Ⅱ以角平分线和平行线结合，构成怎样的等腰三角形？思考若以这样的功能作指导，大都会导到问题的恰当的解决方法。

三、等腰三角形的变换性质 等腰三角形具有这样的变换性质 1、等腰三角形是轴对称图形；2、等腰三角形两腰绕顶点的旋转重合性1、等腰三角形的轴对称图形 等腰三角形是以底边上的中线（底边上的高线，顶角的平分线）所在的直线为轴对称的如图（1） 凡是涉及等腰三角形的问题，都首先应当沿着“轴对称”这一特征去分析，去认识，去寻找解决的方法ACBAGEHFDBC （1） （2）例1 如图（2），中，AB=AC，过A作GE//BC，角平分线BD，CF相交于点H，它们的延长线分别与GE交于点E，G，试在图中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明观察与思考】找全等三角形，实际上是去找图中关于的对称轴（尽管没有把它画出来）为对称的三角形解：全等的三角形有：以证为例：在中，BC公用，。