高中数学创意（一）重点难点突破课件 新人教A版必修1.ppt

下篇　专项导学部分下篇　专项导学部分创意(一)　重点难点突破￿二次函数在闭区间上的最值 二二次次函函数数的的区区间间最最值值问问题题，，一一般般有有三三种种情情况况：：(1)对对称称轴轴、、区区间间都都是是给给定定的的；；(2)对对称称轴轴动动，，区区间间固固定定；；(3)对对称称轴轴定定，，区区间间变变动动．．解解决决这这类类问问题题的的思思路路是是：：抓抓住住“三三点点一一轴轴”数数形形结结合合，，三三点点是是指指区区间间两两个个端端点点和和中中点点，，一一轴轴指指的的是是对对称称轴轴，，结结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．对对于于(2)、、(3)类类，，通通常常要要分分对对称称轴轴在在区区间间内内、、对对称称轴轴在在区区间外两大类情况进行讨论．间外两大类情况进行讨论．典例展示：函数f(x)＝x2－2ax＋1在闭区间[－1,1]上的最小值记为g(a)．(1)求g(a)的解析式；(2)求g(a)的最大值．[思路分析]　画出草图，借助几何图形的直观性，分a>1，－1≤a≤1，a<－1三种情况讨论．•解　(1)函数f(x)可化为f(x)＝(x－a)2＋1－a2，其图象的对称轴x＝a与所给区间[－1,1]呈现出如下图所示的三种位置关系．结合图形分析如下：结合图形分析如下：①①当当a>1时时，，f(x)在在[－－1,1]上上为为减减函函数数，，故故g(a)＝＝f(1)＝＝2－－2a；；②②当－当－1≤a≤1时，时，g(a)＝＝f(a)＝＝1－－a2；；反思感悟　(1)研究二次函数在闭区间上的最值问题，先“定性”(作草图)再“定量”(看着图形求解)，事半功倍，借助图形，清晰直观.(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在闭区间[m，n]上最值的求法：①若－￿￿￿￿￿￿￿￿∈[m，n]，则f 为函数f(x)的一个最值，另一个最值为f(m)或f(n)；②若－￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿∉[m，n]，则f(x)在[m，n]上为单调函数，f(m)和f(n)为函数f(x)的两个最值. 函数创新情境新定义问题 函数是创新性问题较为集中的地带，此类问题主要通过函数是创新性问题较为集中的地带，此类问题主要通过定义新的法则和概念，然后根据新的法则或概念研究函数性定义新的法则和概念，然后根据新的法则或概念研究函数性质．解决这类问题关键在于对新概念、法则的准确理解．质．解决这类问题关键在于对新概念、法则的准确理解．[思路分析]　依据新定义，求出函数f(x)的解析式，数形结合，将方程的实根转为化函数图象的交点问题，进而求x1x2x3的取值范围．反思感悟　1.新定义问题求解的关键是读懂定义的意义，并将其运用到新的情境中，从中提取有效信息，注意特殊值的选取，要有利于定性说明问题及便于推理运算.2.根据运算“*”的规定把分段函数与方程、不等式有机地结合在一起，其实质是研究分段函数的图象和性质，综合考查二次函数的图象、对称性、单调性、方程的根与函数零点、不等式的基本性质等基础知识.答案答案　　B函数图象的识别与应用一直是高考的重点，求解此类问题，一般思路是根据函数的性质，结合图象的平移、翻折(对称)变换进行具体分析判断，如果注意到近年图象识别以选择题的形式呈现，若抓住函数图象上的特殊点或函数在各个区间内函数值的符号，可快速准确作出图象判定．定号定号( (点点) )法巧解函数图象变换问题法巧解函数图象变换问题典例展示：(2012·湖北高考)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如右图所示，则y＝－f(2－x)的图象为￿￿￿(　　)．[思路分析]　该题是根据已知函数的图象判断另一个函数的图象，显然考查的重点就是函数图象的平移与翻折变换，但该函数的图象变换要经过两个对称和一个平移，如果从这个方面来判断，掌握不好平移与翻折过程中发生的变化就很容易出错，我们可以根据两个函数图象上点的对应关系，利用特殊点的函数值及其符号来判断函数的图象．解析　设g(x)＝－f(2－x)，由y＝f(x)的图象知f(1)＝1.令2－x＝1，得x＝1，∴g(1)＝－f(1)＝－1，从而知A，C不正确．又由y＝f(x)图象知f(0)＝0.令2－x＝0，得x＝2，故g(2)＝－f(0)＝0.排除D，应选B.答案　B反思感悟　(1)确定函数图象中的定点或找到有信息价值的特殊点，明确给出函数与已知函数、或基本初等函数之间的关系与不同，灵活赋值，准确利用符号运算法则进行判断．(2)熟练掌握一些基本初等函数的性质，如y＝ax(a>0，且a≠1)恒过定点(0,1)，f(x)＝log2x，当x∈(0,1)时f(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0.注意一些二次函数与基本初等函数乘积形式的函数，如g(x)＝(x2－1)ln x类型的函数，要抓住函数值的符号来确定函数的图象．显然，当x∈(0,1)时，x2－ 1<0， ln x<0， 故 g(x)>0； 同 理 当 x∈(1， ＋ ∞)时 ，g(x)>0.函数部分有一类抽象函数问题，它给定函数f(x)的某些性质，要证明它的其他性质，或利用这些性质解一些不等式或方程．这些题目的设计一般都有一个基本函数作为“模型”，若能分析猜测出这个模型函数，联想这个函数的其他性质来思考解题方法，那么这类问题就能简单获解．利用模型函数巧解抽象函数问题利用模型函数巧解抽象函数问题 典例展示1：已知函数f(x)对任意实数x，y，恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)＋2，当x>0时有f(x)>2，f(3)＝5，求不等式f(a－2)<3的解集．[思路分析] 由已知条件可猜测f(x)是一次函数f(x)＝x＋1的抽象函数，f(x)应是单调递增的函数，由此，我们就能将题目中不等式的函数符号脱去，从而化“隐”为“显”，顺利求解．解　设x1，x2是R上任意两个值，且x10.∵当x>0时有f(x)>2，∴f(x2－x1)>2，又f(x2)＝f((x2－x1)＋x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－2，∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－2>0，即f(x2)>f(x1)，∴f(x)为R上的增函数．又f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)－2＝3f(1)－4，且f(3)＝5.∴f(1)＝3，∴不等式f(a－2)<3可化为f(a－2)0时，f(x)>2的灵活应用，尽可能地将目标向f(x2－x1)转化. [补偿训练4]已知函数f(x)对任意实数x，y，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时有f(x)>0，f(－1)＝－2，求f(x)在[－2,1]上的最值．解　设x1，x2是R上任意两个值，且x10，∵当x>0时有f(x)>0，∴f(x2－x1)>0.又对任意实数x，y，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令x＝y＝0，则由f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0；再令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数．∴f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)>0，即f(x2)>f(x1)，∴f(x)为R上的增函数．又f(－2)＝f(－1－1)＝2f(－1)＝－4，f(1)＝－f(－1)＝2，∴当x∈[－2,1]时，f(x)的最大值为f(1)＝2，f(x)的最小值为f(－2)＝－4.典例展示2: 设函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)．若f(3)＝1，且f(a)>f(a－1)＋2，求实数a的取值范围．[思路分析] 由条件猜想f(x)是对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的抽象函数，类比对数的运算法则和函数的单调性去掉符号“f”，即得到关于a的不等式(组)，求解该不等式(组)，即得实数a的取值范围．3．从条件中猜想模型函数，以此模型函数为桥梁，找出证明抽象函数其他性质的方法．常见的抽象函数的性质与对应的特殊模型函数的对照表如下：•(2)设x1，x2是R上任意两个值，且x10，f(x2)>0，x2－x1>0，所以00，f(x2－x1)－1<0，•所以f(x1)[f(x2－x1)－1]<0，即f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)