2022年高观点下的几何学练习题及参考答案.docx

精品学习资源《高观点下的几何学》练习题参考答案一一、填空题；1．公理法的三个基本问题是〔相容性问题 〕、〔 独立性问题〕和〔 完备性问题〕；2．公理法的结构是〔原始概念的列举〕、〔定义的表达 〕、〔 公理的表达〕和〔定理的表达和证明〕3．仿射变换把矩形变成平行四边形4．仿射变换把平行线变成平行线5．仿射变换把正三角形变成三角形；二、简答题；1. 试给一个罗氏几何的数学模型；答：罗氏几何的〔 Cayley-F.kLein 〕模型在欧氏平面上任取一个圆，把圆内部的点所构成的集合看成是罗氏“平面” ；罗氏平面几何的原始概念说明成：罗氏点：圆内的点；罗氏直线：圆内的开弦〔两个端点除外，它们可称为无穷远点〕 ；结合关系：圆内原先的点和线的结合关系；介于关系：圆内弦上三点的介于关系；运动关系：欧氏平面上，将圆 K 变成自身的射影变换；罗氏平行公理〔在罗氏平面上〕 通过直线外一点至少存在两直线与已知直线不相交；2. 试给一个黎曼几何的数学模型答：黎曼几何的〔 F.KLein 〕模型黎曼几何的原始概念说明成：黎氏点：欧氏球面上的点，但把每对对径点看成一点； 黎氏直线：球面上的大圆；黎氏平面：改造后的球面；黎氏点与黎氏直线的基本关系：(1) 通过任意两个黎氏点存在一条黎氏直线；(2) 通过任意两个黎氏点至多存在一条黎氏直线；(3) 每条黎氏直线上至少有两个黎氏点；至少存在三个黎氏点不在同一条黎氏直线上；黎曼几何平行公理：黎氏平面上任意两条直线相交；3. 简述公理法的基本思想；答：假设干个原始概念〔包括元素和关系〕 、定义和公理一起叫做一个公理体系，构成了一种几何的基础；全部元素的集合构成了这种几何的空间；在这个公理体系的基础上，每个概念都必需给出定义，每个命题都必需给出证明， 原始概念、 定义、公理和定理依据规律关系有次序地排列而构成命题系统——规律结构，这就是公理法思想；4. 简述公理系统的独立性答：假如一个公理系统中的某条公理不能由其余公理证明，即不时其余公理的推论，就称这跳公理在公理系统中是独立的；假如一个公理系统中的没一条工理都是独立的，就称这个公理系统是独立的；欢迎下载精品学习资源5. 试着陈述非欧几何是怎样产生的？答：众所周知，欧几里得《几何原本》是演绎体系的里程碑，虽然它不尽完善，但它的确是建立科学演绎体系的最早的代表作，它一经问世，就引起了学术界的广泛关注，欧几里得之后的数学家们在对《几何原本》的讨论过程发觉，它的第五公设的内容不象前四条公设表达的那么简洁，同时它又是在其次十九条命题之后才显现的，于是这些数学家很自然提出这样一个问题：是否底五公设它不是一条公理，而是一条命题呢？与是他们试图去论证第五公设的独立性，在这种论证过程中，罗巴切夫斯基与黎曼分别建立了新的无冲突的科学演绎体系，即罗氏及何与黎曼几何，这两种几何与欧氏几何有共同的肯定几何公理体系，只是平行公理不同；6. 简述公理系统的完备性；答：假如公理系统的全部模型都是同构的，就称这个公理系统是完备的，或称其具有完备性；7. 简述公理系统的相容性；答：公理系公理系统的相容性是指这个系统的全部构成要素是无冲突的；任何一个公理系统都要满意无冲突性；证明公理系统的相容性常用的方法是模型法；三、挑选题；1. 三角形内角和等于 180 度与〔 A 〕A 欧氏平行公理等价 B 罗氏平行公理等价 C 椭圆几何平行公设等价 D 不可判定2. 欧氏几何与非欧几何的本质区分为〔 A 〕A 平行公设不同 B 结合公理相同 C 肯定公设不同 D 结合公理不同欢迎下载精品学习资源3. 设点A, B,C 共线，且在仿射变换下分别变成A ',B ', C' ，就A ', B', C ' 三点〔 A 〕欢迎下载精品学习资源A. 共线 B ．三角形顶点 C ．可能不共线 D ．可能重合4. 正方形在仿射变换下变成〔 B 〕A. 正方形 B ．平行四边形 C ．菱形 D ．矩形5. 正方形的以下性质中哪些是仿射的 〔 1 ， 4 〕〔1〕对边平行； 〔2〕四角相等； 〔3〕四边相等； 〔4〕对角线相互平分；〔5〕对角线相互垂直； 〔6〕角被对角线平分； 〔7〕对角线相等； 〔8〕面积6．在仿射对应下，哪些量不变？〔 C ， D 〕A. 长度 B ．角度 C ．单比 D ．交比四、运算与证明题；欢迎下载精品学习资源1. 求出将点 〔3,1〕 变成点 〔 1,3〕 的绕原点的旋转变换， 再将所得的变换用于抛物线y2 x8y 18 0 上；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：设所求的旋转变换为x 'y 'x cos x siny sin y cos欢迎下载精品学习资源就于是所求的旋转变换为2x ' yy ' x即 x y 'y x '欢迎下载精品学习资源将此变换用于所给的抛物线得欢迎下载精品学习资源x ' 28x 'y ' 18 0 ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2. 试确定仿射变换，使 y 轴、 x 轴的象分别为直线解：所求变换的公式为x y 1 0和 x y1 0 ，且点 〔1,1〕 的象为原点；欢迎下载精品学习资源x y就 x 0 变成直线 1x '1 x'2 x '1 y '1 y ' 12 y' 21 0其中 01 12 2欢迎下载精品学习资源但由题设 x所以0 变成 x'y ' 1 0 可知， 1x '1 y'1 0 与 x 'y ' 1 0 表示同始终线；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1111111h因此同理此处 h, k 是参数；hx x'ky x'y ' 1y' 1欢迎下载精品学习资源又由于点〔 1， 1〕的象为原点，于是h 1, k1，所以，所求变换的逆式为欢迎下载精品学习资源x x ' y' 1欢迎下载精品学习资源y由此得出所求的仿射变换为〔 x 'x 'y 'y ' 1〕x y2 2x y 12 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3. 求出将点 〔2,3〕 变成点 〔0, 1〕 的平移变换，在这个平移变换下，抛物线2y x 8 y18 0 变成什么曲线？欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：设所求的平移变换为x' x ay ' y b欢迎下载精品学习资源将已知对应点的坐标代入上式得0 2 a1 3 b欢迎下载精品学习资源于是 a所以所求的平移变换为2, b 4x ' x 2即y ' y 4x x ' 2y y ' 4欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源将此变换用于所给的抛物线上2〔 y ' 4〕〔 x ' 2〕 8〔 y ' 4〕 18 0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2即 y 'x' 0欢迎下载精品学习资源4. 求仿射变换x ' 7x y 1y ' 4x 2y 4的二重直线；欢迎下载精品学习资源解： 设所求的不变直线为欢迎下载精品学习资源Ax By C 0〔 A, B 不同时为 0〕欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源即在所给的变换下，Ax By C0 对应Ax'By' C 0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由于 Ax 'By'C A〔7 x y1〕 B〔4 x 2y 4〕 C欢迎下载精品学习资源〔7 A 4B〕x〔 A 2B〕 y 〔 A4B C〕欢迎下载精品学习资源所以消去 A, B,C 得7A 4B AA 2B BA 4B C C〔1〕〔2〕〔3〕欢迎下载精品学习资源7 4 01 2 0 01 4 1欢迎下载精品学习资源绽开化简得〔1 〕〔7 〕〔2 〕 4〔1 〕 0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解得 1,3,6由于当 1时， A B30 ，因此不对应不变直线，分别将 3, 6 代入〔 1〕，〔 2〕，〔3〕得欢迎下载精品学习资源A B, C B 和 A24B, C 0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以不变直线为 2x2 y 3 0和 4x y 0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源5. 证明，直线Ax By C0 将两点P 〔 x , y 〕 与P 〔x, y 〕的连线段分成的比是Ax1By1 C ；欢迎下载精品学习资源1 1 12 2 2Ax2By2 C欢迎下载精品学习资源6. 求证：相交于影消线的二直线必射影成两平行线；欢迎下载精品学习资源证明： 设二直线l1 和l 2 交于 P 点， P 点在影消线上，l1 和l 2 经射影对应，对应直线为l1 和 l2 ，欢迎下载精品学习资源就 P 点对应无穷远点；欢迎下载精品学习资源由于射影对应保持结合性不变， 所以 P 的对应点是l1 和l 2的交点， 即无穷远点， 也就是 l1 ∥欢迎下载精品学习资源l 2 ；二欢迎下载精品学习资源一、填空题；欢迎下载精品学习资源1. 设共线三点A 0,2 , B 〔2,0〕,C〔1,1〕，就 〔ACB〕 2欢迎下载精品学习资源2. 假如两个向量线性相关，就它们的位置关系是〔 共线或平行 〕，夹角为〔 0或 〕；3. 空间中三个向量线性相关当且仅当它们〔 共面 〕，空间中的四个向量肯定〔 线性相关 〕4. 设 a 与 b 是两个非零向量，假设 a 与 b 线性相关，就 a b 0 ；欢迎下载精品学习资源5. 已知向量a x1 , x2 , x3,b y1 , y2 , y3，就 a 与 b 之间的内积a b x1 y1x2 y2x3 y3 ；欢迎下载精品学习资源。