2018版高中数学第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词1.3.1且（and）1.3.2或（or）学案新人教a版选修2-1.doc

11.3.11.3.1 且且 (and)(and) 1.3.21.3.2 或或 (or)(or)学习目标 1.了解联结词“且” “或”的含义.2.会用联结词“且” “或”联结或改写某些数学命题，并判断其命题的真假.知识点一 “且”思考 观察三个命题：①5 是 10 的约数；②5 是 15 的约数；③5 是 10 的约数且是 15 的约数，它们之间有什么关系？从集合的角度如何理解“且”的含义.答案 命题③是将命题①，②用“且”联结得到的新命题， “且”与集合运算中交集的定义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中“且”的意义相同，表示“并且” ， “同时”的意思.“且”作为逻辑联结词，与生活用语中“既…，又…”相同，表示两者都要满足的意思，在日常生活中经常用“和” “与”代替.梳理 (1)定义：一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”.当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题.我们将命题p和命题q以及p∧q的真假情况绘制为命题“p∧q”的真值表如下：pqp∧q真真真真假假假真假假假假命题“p∧q”的真值表可简单归纳为“同真则真”.(2)“且”是具有“兼有性”的逻辑联结词，对“且”的理解，可联系集合中“交集”的概念，A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中的“且”是指“x∈A”与“x∈B”这两个条件都要同时满足.(3)我们也可以用串联电路来理解联结词“且”的含义，如图所示，若开关p，q的闭合与断开分别对应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开对应命题p∧q的真与假.知识点二 “或”思考 观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2，它们之间有什么关系？从集合的角度谈谈对“或”的含义的理解.2答案 命题③是命题①，②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题.“或”从集合的角度看，可设A＝{x│x满足命题p}，B＝{x│x满足命题q}，则“p∨q”对应于集合中的并集A∪B＝{x│x∈A或x∈B}.“或”作为逻辑联结词，与日常用语中的“或”意义有所不同，而逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思.“p或q”有三层意思：要么只是p，要么只是q，要么是p和q， 即两者中至少要有一个.梳理 (1)定义：一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”.(2)判断用“或”联结的命题的真假：当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题.我们将命题p和命题q以及p∨q的真假情况绘制为命题“p∨q”的真值表如下：pqp∨q真真真真假真假真真假假假命题“p∨q”的真值表可简单归纳为“假假才假”.(3)对“或”的理解：我们可联系集合中“并集”的概念A∪B＝{x|x∈A或x∈B}中的“或” ，它是指“x∈A” ， “x∈B”中至少有一个是成立的，即可以是x∈A且x∉B，也可以是x∉A且x∈B，也可以是x∈A且x∈B.(4)我们可以用并联电路来理解联结词“或”的含义，如图所示，若开关p，q的闭合与断开对应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题p∨q的真与假.类型一 含有“且” “或”命题的构成命题角度 1 简单命题与复合命题的区分例 1 指出下列命题的形式及构成它的命题.(1)向量既有大小又有方向；(2)矩形有外接圆或有内切圆；(3)2≥2.解 (1)是p∧q形式命题.3其中p：向量有大小，q：向量有方向.(2)是p∨q形式命题.其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆.(3)是p∨q形式命题.其中p：2>2，q：2＝2.反思与感悟 不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词“或” “且”构成的命题是复合命题.判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或” “且”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题.如“四边相等且四角相等的四边形是正方形”不是“且”联结的复合命题，它是真命题，而用“且”联结的命题“四边相等的四边形是正方形且四角相等的四边形是正方形”是假命题.跟踪训练 1 命题“菱形对角线垂直且平分”为________形式复合命题.答案 p∧q命题角度 2 用逻辑联结词构造新命题例 2 分别写出下列命题的“p且q” “p或q”形式的命题.(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：－1 是方程x2＋4x＋3＝0 的解，q：－3 是方程x2＋4x＋3＝0 的解.解 (1)p或q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等.p且q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等.(2)p或q：－1 或－3 是方程x2＋4x＋3＝0 的解.p且q：－1 与－3 是方程x2＋4x＋3＝0 的解.反思与感悟 用逻辑联结词“或” “且”联结p，q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把p，q中的条件或结论合并.跟踪训练 2 指出下列命题的构成形式及构成它的命题p，q.(1)0≤2；(2)30 是 5 的倍数，也是 6 的倍数.解 (1)此命题为“p∨q”形式的命题，其中p：00 对x∈R R 恒成立.1 16当a＝0 时，－x>0，不合题意；当a≠0 时，可得Error!即Error!∴a>2.(2)令y＝3x－9x＝－(3x－ )2＋ .1 21 4由x>0，得 3x>1，∴y＝3x－9x的值域为(－∞，0).若命题q为真命题，则a≥0.由命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，得命题p，q一真一假.当p真q假时，a不存在；当p假q真时，0≤a≤2.5∴满足条件的a的取值范围是{a|0≤a≤2}.反思与感悟 解决此类问题的方法：首先化简所给的两个命题p，q，得到它们为真命题时，相应参数的取值范围；然后，结合复合命题的真假情形，确定参数的取值情况，常用分类讨论思想.跟踪训练 4 已知命题p：方程a2x2＋ax－2＝0 在[－1，1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围.解 对于命题p：由a2x2＋ax－2＝0，得(ax＋2)(ax－1)＝0，显然a≠0，∴x＝－ 或x＝ ，2 a1 a∵x∈[－1，1]，故|－ |≤1 或| |≤1，即|a|≥1.2 a1 a∴p为假时得|a|0 B.a≥0 C.a>1 D.a≥1答案 B解析 ∵方程x2＋2x＋a＝0 有实数根，∴Δ＝4－4a≥0，解得a≤1.∵函数f(x)＝(a2－a)x是增函数，∴a2－a>0，解得a1.∵p∧q为假命题，p∨q为真命题，∴p，q中一真一假.①当p真q假时，得 0≤a≤1；②当p假q真时，得a>1.由①②得，所求a的取值范围是a≥0.3.命题p：“x>0”是“x2>0”的必要不充分条件，命题q：△ABC中， “A>B”是“sin A>sin B”的充要条件，则( )A.p真q假 B.p∧q为真C.p∨q为假 D.p假q真答案 D解析 命题p假，命题q真.4.命题p：点P在直线y＝2x－3 上；q：点P在曲线y＝－x2上，则使“p且q”为真命题的一个点P(x，y)是( )A.(0，－3) B.(1，2)C.(1，－1) D.(－1，1)答案 C解析 点(x，y)满足Error!解得P(1，－1)或P(－3，－9)，故选 C.5.设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线π 2x＝对称.则下列判断正确的是( )π 2A.p为真 B.q为真8C.p且q为假 D.p或q为真答案 C解析 利用含逻辑联结词命题的真值表求解.p是假命题，q是假命题，因此只有 C 正确.6.给出下列命题：①2>1 或 1>3；②方程x2－2x－4＝0 的判别式大于或等于 0；③25 是 6 或 5 的倍数；④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集.其中真命题的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 D解析 ①由于 2>1 是真命题，所以“2>1 或 1>3”是真命题；②由于方程x2－2x－4＝0 的Δ＝4＋16>0，所以“方程x2－2x－4＝0 的判别式大于或等于0”是真命题；③由于 25 是 5 的倍数，所以命题“25 是 6 或 5 的倍数”是真命题；④由于A∩B⊆A，A∩B⊆A∪B，所以命题“集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集”是真命题.二、填空题7.命题“相似三角形的面积或周长相等”为________命题.(填“真”或“假”)答案 假解析 该命题是由命题p：“相似三角形的面积相等”和命题q：“相似三角形的周长相等”用逻辑联结词“或”联结构成的新命题.因为p是假命题，q也是假命题，所以p∨q是假命题.8.若命题p∨q为假命题，则命题“p∧q”是________命题.(填“真”或“假”)答案 假解析 因为p∨q为假命题，所以p，q都是假命题，故p∧q必为假命题.9.已知p：x2－2x－31 的解集是{x|x .1 2若q假，则a≤ ，1 2又p和q有且仅有一个为真，∴当p真q假时，00 的解集为 R R 且不等式x2－2x＋2≤1 的解集为∅.解 (1)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真q真，则“p且q”为真，所以该命题是真命题.(2)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：不等式x2－2x＋1>0 的解集为 R R，q：不等式x2－2x＋2≤1 的解集为∅.因为p假q假，所以“p且q”为假，故该命题为假命题.12.设p：函数f(x)＝lg(ax2－4x＋a)的定义域为 R R；q：设a a＝(2x2＋x，－1)，b b＝(1，ax＋2)，不等式a a·b b>0 对任意x∈(－∞，－1)恒成立.如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围.解 若p为真命题，则ax2－4x＋a>0 对x∈R R 都成立，则(－4)2－4a20，即Error!解得a>2.若q为真命题，则由a a·b b>0 对任意x∈(－∞，－1)恒成立，知 2x2＋x－(ax＋2)>0，即a>2x－ ＋1 对任意x∈(－∞，－1)恒成立，则a>(2x－ ＋1)max.2 x2 x令f(x)＝2x－ ＋1，可知f(x)在(－∞，－1)上是增函数，当x＝－1 时取得最大值，2 x10ymax＝1.故a≥1.又p∨q为真命题，p∧q为假命题，则等价于p，q中一个为真命题，另一个为假命题.若p真q假，则Error!无解；若p假q真，则Error!则 1≤a≤2.综上，实数a的取值范围为[1，2].13.已知c>0，设命题p：函数y＝cx为减函数.命题q：当x∈时，函数f(x)＝x＋ >[1 2，2]1 x恒成立.如果“p或q”为真命题， “p且q”为假命题，求c的取值范围.1 c解 由命题p为真知，0 ，1 c1 2若“p或q”为真命题， “p且q”为假命题，则p、q中必有一真一假，当p真q假时，c的取值范围是 0