2021年两角和与差的正弦、余弦和正切公式--知识点与题型归纳.pdf

1 高考明方向1. 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2. 能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式3. 能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系 . 备考知考情1. 利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式进行化简、求值是高考考查的热点2. 常与三角函数的性质、向量、解三角形的知识精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 44 页 - - - - - - - - -2 相结合命题3. 题型以选择题、填空题为主，属中低档题. 一、知识梳理名师一号P52 知识点1、 （补充）两角差的余弦公式的推导利用向量的数量积推导 -必修 4 课本 P125 2、 （补充）公式之间的关系及导出过程精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 44 页 - - - - - - - - -3 3、和、差、倍角公式名师一号P52 注意：名师一号 P53 问题探究问题 1 两角和与差的正切公式对任意角， 都成立吗？其适用条件是什么？在公式 T()与 T()中， 都不等于 k2(k Z)，即保证 tan，tan，tan ()都有意义；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 44 页 - - - - - - - - -4 若 ， 中有一角是 k2(k Z)，可利用诱导公式化简小结：一、公式的逆用与变形运用名师一号 P53知识点二 2 (1)tan tantan( )(1 ?tantan)；(2)cos21cos22， sin21cos22；(3)1 sin2 (sin cos)2,1sin2 (sin cos)2；(4)sin cos2sin 4. 二、三角恒等变换须关注以下三方面名师一号 P53 问题探究问题 2 ( 补充) 1、角：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 44 页 - - - - - - - - -5 角的变换：注意拆角、拼角技巧如 ()()，()()2，22，2 22 ，754530等注意倍角的相对性：如是2的二倍角等； 3 是23的二倍角等；2、函数名：异名化同名 - 正余互化，切化弦，弦化切正余互化（利用诱导公式、平方关系）切化弦，弦化切（利用sintancos、cos1sinsincos12tan）等；3、式子结构：（1）1的变换（注意145tan，22sincos1） 、（2）幂的变换（升幂角减半精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 44 页 - - - - - - - - -6 221cos22cos,1cos22sin；降幂角加倍221cos21cos2cos,sin22） 、（3）合一变换（)sin(cossin22baba） -名师一号 P53 知识点三要时时关注角的范围的讨论！二、例题分析：（一）公式的直接应用例 1 （1） 名师一号 P53 对点自测 1、2、3、4 cos33cos87sin33 cos177的值为( ) A.12 B12 C.32 D32精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 44 页 - - - - - - - - -7 解析cos33cos87sin33 cos177cos33sin3 sin33 cos3sin(3 33)sin30 12. 2若 cos45， 是第三象限的角，则sin 4( ) A7 210 B.7210 C 210 D.210解析由于 是第三象限角且 cos45，sin 35. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 44 页 - - - - - - - - -8 sin 4sin cos4cossin42235457 210. 3. 若 sin233，则 cos( ) A23B13C.13D.23解析因为 sin233，所以 cos12sin221233213. 4化简：11tan11tan_. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 44 页 - - - - - - - - -9 解析原式2tan2tan1tan2tan2.例 1 （2）(补充 ) 计算cos15sin15cos15sin15答案: 33例 2 名师一号 P53 高频考点例 1（2）（2）(2014新课标全国卷 ) 设 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 44 页 - - - - - - - - -10 0，2， 0，2， 且 tan1sin cos， 则( ) A32 B 32C22 D 22解析： (2) 由已知，得sin cos1sin cos，sin coscoscossin ，sin coscossin cos.sin( )cos.sin( )sin2 . 0，2， 0，2. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 44 页 - - - - - - - - -11 22，022. 2， 22. 故选 C. 练习 1：3sin70 2cos210( ) A.12B.22 C2 D.32分析：观察角可以发现 70与 20互余，20是10的二倍，故可用诱导公式和倍角公式( 或降幂 )化简解析：原式3cos202cos21032102cos2102. 练习 2：已知 是第二象限的角， tan( 2)精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 44 页 - - - - - - - - -12 43，则 tan _. 分析：用诱导公式可将条件化为tan2 的函数值，用二倍角公式解方程可求得tan.解析：由 tan( 2)43得 tan243，由 tan22tan1tan243，解得 tan12或 tan2， 又 是第二象限的角，所以 tan12. 练习 3：设 56， cos2a，则 sin4等于( ) 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 44 页 - - - - - - - - -13 A.1a2B.1a2C1a2 D1a2解析： 56，54432， sin40，acos212sin24，sin41a2. 点评：不要求记忆半角公式，只要熟记二倍角公式，熟练进行角的范围与三角函数值符号的讨论，求半角的三角函数值时，可利用倍角公式通过开方求解（二）公式的变形应用例 1 （1） ( 补充)计算:tan20 +tan403精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 44 页 - - - - - - - - -14 tan20 tan 40= 答案: 3 例 1(2) ( 补充 )化简：tan(18 x)tan(12 x) 3tan(18 x) tan(1 2x) _. 答案: 1 解析： tan(18 x) (12x) tan18xtan12x1tan18xtan12x精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 44 页 - - - - - - - - -15 tan3033tan(18 x) tan(12 x) 331 tan(18 x) tan(12 x) 于是原式 tan(18 x)tan(12 x) 3331 tan(18 x) tan(12 x) 1. 变式: 计算(1+tan1) (1+tan2 ) (1+tan3) (1+tan44 ) (1+tan45 ) 答案: 232注意: 公式的逆用与变形运用精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 44 页 - - - - - - - - -16 练习：计算13sin10sin80答案:4 例 2 （1） 名师一号 P54 高频考点例 2 (2)sin110 sin20 cos2155 sin2155的值为 ( ) A12 B.12 C.32 D32sin110 sin20 cos2155sin2155sin70 sin20 cos310cos20sin20 cos5012sin40 sin40 12. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 44 页 - - - - - - - - -17 例 2 （2）(补充 ) 化简: 1*coscos2cos4cos2nnN温故知新 P50 知识(5) 1cos20cos40cos60cos8016答案: *sin 22sinnnnN注意: 公式的逆用与变形运用例 3 名师一号 P53 对点自测 5、6 5. 如果 2， ，且 sin 45，那么sin 4cos 4( ) 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 44 页 - - - - - - - - -18 A.425 B425 C.325 D325解析因为 sin 45，2， 所以 cos35. 而 sin 4cos 42sin 22cos325. 6已知函数 f(x) 3sinx cosx，xR，若 f(x) 1，则 x 的取值范围为 ( ) Ax|k 3xk， kZ 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 44 页 - - - - - - - - -19 Bx|2k 3x2k， kZ Cx|k 6xk56，kZ Dx|2k 6x2k56，kZ 解析根据题意，得 f(x) 2sin x6，f(x) 1，所以 2sin x61，即 sin x612. 由图象可知满足62kx6562k(k Z)，解得32kx2k(k Z)精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 44 页 - - - - - - - - -20 注意: 公式的逆用与变形运用合一变换asin bcosa2b2sin( )，其中 cosaa2b2，sin ba2b2，tanba. 的终边所在象限由a，b 的符号来确定拓展：温故 P59第 7 题（三）角的代换例 1 （1）(补充 )若 sin(6)13，则 cos(232)的值为 ( ) A.13 B13 C.79 D79精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 44 页 - - - - - - - - -21 答案 D 解析 cos(232)2cos2(3)1 2cos22(6) 1 2sin2(6)12(13)2179. 变式: 已知12sin()cos(2 )633，则。

练习: 函数2sincos,362 2yxxx的值域是精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 44 页 - - - - - - - - -22 答案: cos6yx; 值域是1,12角的变换 - 用已知角和特殊角拆、拼例 1(2) 名师一号 P54 高频考点例 3（1）已知12cos,sin2923, 且,022, 求cos的值. (1) 02，422，420，00，022. tan(2 )tan2tan1tan2tan精品学习资料 。