（可编）放缩法的应用技巧.docx

1 2 2 3 (n 1) n 1 2 2 3 n 1 nn2 n(n 1) (n 1) n1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 141 12，4 3 2 31 1 1 74 2 3 (n 1) n 4 2 3 n 1 n 4 n 4n放缩法的应用技巧放缩法证明数列不等式是高考数学命题的热点和难点 所谓放缩法就是利用不等式的传递性， 对不等式的局部进行合理的放大和缩小从而向结论转化，其难度在于放缩的合理和适度证明数列型不等式，因 其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧从而充满思考性和挑战性。

为了帮助更多的学生突破这 一难点，我们从以下几个方面对放缩法证明数列不等式的基本策略进行分析一、常见的放缩方法证题中经常用到的放缩方法法有：1. “添舍”放缩：对不等式一边添项或舍项以达到放大和缩小的效果；2.分式放缩：分别放缩分式的分子、分母或者同时放缩分子分母以达到放缩的效果；3.利用重要的不等式或结论放缩： 把欲证不等式变形构造， 然后利用已知的公式或恒不等式进行放缩，例如均值不等式、柯西不等式、绝对值不等式、二项式定理、贝努力公式、真分数性质定理等 4.单调性放缩：挖掘不等式的结构特征和函数内涵来构造单调数列或单调函数，利用单调性、值域产生的不等关系进行放缩二、常见的放缩控制当我们选择了正确的放缩方法后， 却往往会在放缩的过程中不知不觉间失控， 导致放缩的过大或过小，达不到欲证的目标那么如何控制好放缩的尺度呢？1 1 1 1 7例 1． 求证：2 2 2 21 2 3 n 4分析 1：不等式左边不能直接求和，我们希望通过合适的放缩后可以求和。

若采取“ (n 2) ”的方法向右端放大，则左边 1 1 ( ) ( ) ( ) 2很明显，放得有点大了，导致传递性失败，不等式链中断，放缩失败那怎么办呢？1 7n2【 1】 调整放缩的“量”的大小分析 2：分析 1 中“放”的有点过大，因为，放大了2 1 21 1 12 ，放大了1，18所以可以1 1通过调整放大的“量”来控制放缩的效果在 分母减少了 n2 n(n 1)n2 n2 1 2 n 1 n 1减少 1，即 1 1 1( 1 1 )（n 2），这样放的量就少了。

2 1 3 2 4 3 5 n 1 n 1 2 2 n证明 1：左边 <1 1 (1 1) (1 1) (1 1)+ ( 1 1 ) =1+ 1 (1 1 1【 2】 调整放缩的“项”的起点n，我们可以把分母只1 2 2 4) <1+ (1 )=分析 3：分析 1 中从第二项开始放缩，放的最终有点大可以调整放缩的项数，从第三项开始放缩证明 2：左边 1 1 1 1 1 1 ( 1 1) ( 1 1 ) 7 1 7由此可见，调整成功显然从第三项开始放缩所得的结果比从第二项开始放缩所得的结果又更小 些以此类推，当放缩的项数越少，放缩后的结果就会越来越精细，越来越逼近目标除此之外 ，还可以调整放缩的次数，通过多次放缩的调整来达到效果；有时也可以根据欲证式子 的结构特点，把相邻的项分组捆绑后进行放缩，也可以达到控制放缩合理和尺度的效果。

k212) ，即 sn2 2 212,2k2三、常见的问题类型数列型不等式的一边常与求和有关，所以可以通过放缩后求和 面我们通过几道典型例题来体会常见问题的处理手法一 . 放缩与“公式法求和”(或求和后放缩 )来达到欲证的目标下．．选择恰当 的放缩方法，通过“通项”的适度．． 放缩使之转化为等差或等比数列，从而求和达到简化证题的目的例 2． 设Sn 1 2 2 3证明：因为 k k k(k 1)n (n 1) ，求证：k (k 1)2n(n 1)2k( k 1)(n 1) 2snknk Snk1n(kk11 n(n 1) (n 1) 2说明：分别利用“添舍项”和“均值不等式”把通项放缩为等差数列，然后求和得证例 3． 求证：证明：因为11!1 11! 2!k! k( k1 12! 3!13!1)2n!2 1 2 21n!0121122 1122k 11k!1k 121k 1 ,21 ( 1) n1121 2 n, , , .2 ( 1) n 1 2说明：把分母适当变小，实现分式的放大，把通项放缩为等比数列，然后方便求和。

例 4． 已知 an2 3 2 2 3 2 2 2 2 3 2 22 2k k2 1 2 2 2， k 1 ak 1 22 2k 1 k 12 3 a2 a3 an 1 222n 1，证明： n 1 a1 a2 an nk 1 k 1 1 n ak n ，不等式右边得证k 1 12 2 1 1 1 1 12(2k 1 ) 2 4(2k 1 ) 2 3 2 (2 2) 2( 1 1 k ) n 1 ( 11 12 1n ) n 1 (1 1n ) n证明：通项ak ak 1akak 11kk2 12 1kn1akak 1kn1说明：不等式两端的结构特点是本题证明的突破口，利用“添舍项”把通项放缩为与然后求和证明。

其中不等式左边的放缩方法有数种，值得体会研究1k3 2k1 10 2 3 21，不等式左边得证31有关的形式，2二 . 放缩与“裂项法求和”在例 1 中，不等式的左边无法求和，但通过放缩产生裂项相消的求和效果后，使问题解决例 2 的右边也是利用放缩产生了裂项的效果， 然后求和 下面我们再通过几道例题的证明体会裂项求和效果的运用3k 1 f (k ) 1 2n1[] [ ] [ ]3 , a4k 1 k1k 1 f (k) 1 f (1) 2n例 5. 求证：证。