三教上人（A+版-Applicable Achives）13.2 不等式选讲第1课时 绝对值不等式最新考纲考情考向分析1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.本节题目常见的是解绝对值不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，求含有绝对值的函数最值也是考查的热点．求解的一般方法是去掉绝对值，也可以借助数形结合求解．在高考中主要以解答题的形式考查，难度为中、低档.1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|a(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 2．含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则||a|－|b||≤|ab|≤|a|＋|b|.(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．概念方法微思考1．绝对值三角不等式的向量形式及几何意义是什么？提示 当a，b不共线时，|a|＋|b|>|a＋b|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边．2．用“零点分段法”解含有n个绝对值的不等式时，需把数轴分成几段？提示 一般地，n个绝对值对应n个零点，n个零点应把数轴分成(n＋1)段．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“”)(1)若|x|>c的解集为R，则c≤0.( )(2)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.( √ )(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0时等号成立．( )(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立．( )(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．( √ )题组二 教材改编2．不等式3≤|5－2x|<9的解集为( )A．[－2,1)∪[4,7) B．(－2,1]∪(4,7]C．(－2，－1]∪[4,7) D．(－2,1]∪[4,7)答案 D解析 由题意得即解得不等式的解集为(－2,1]∪ [4,7)．3．求不等式|x－1|－|x－5|<2的解集．解 ①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1；②当11时，(*)式化为x2＋x－4≤0，从而10.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形的面积大于6，求a的取值范围．解 (1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；当－10，解得0，解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为.(2)由题设可得，f(x)＝所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为(a＋1)2.由题设得(a＋1)2>6，故a>2.所以a的取值范围为(2，＋∞)．题型二 利用绝对值不等式求最值例2 (1)对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值；(2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值．解 (1)∵x，y∈R，∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，当且仅当0≤x≤1时等号成立，∴|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，当且仅当－1≤y≤1时等号成立，∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3，当且仅当0≤x≤1，－1≤y≤1同时成立时等号成立．∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.(2)|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.思维升华 求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种(1)利用绝对值的几何意义．(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|ab|≥||a|－|b||.(3)利用零点分区间法．跟踪训练2 已知a和b是任意非零实数．(1)求的最小值；(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，求实数x的取值范围．解 (1)∵≥＝＝4，当且仅当(2a＋b)(2a－b)≥0时等号成立，∴的最小值为4.(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，即|2＋x|＋|2－x|≤恒成立，故|2＋x|＋|2－x|≤min.由(1)可知，的最小值为4，∴x的取值范围即为不等式|2＋x|＋|2－x|≤4的解集．解不等式得－2≤x≤2，故实数x的取值范围为[－2,2]．题型三 绝对值不等式的综合应用例3 (20XX全国Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．解 (1)f(x)＝当x<－1时，f(x)≥1无解；当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2；当x>2时，由f(x)≥1，解得x>2，所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．(2)由f(x)≥x2－x＋m，得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－2＋≤，当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝.故m的取值范围为.思维升华 (1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．跟踪训练3 设函数f(x)＝x＋|x－a|.(1)当a＝2 019时，求函数f(x)的值域；(2)若g(x)＝|x＋1|，求不等式g(x)－2>x－f(x)恒成立时a的取值范围．解 (1)由题意得，当a＝2 019时，f(x)＝因为f(x)在[2 019，＋∞)上单调递增，所以f(x)的值域为[2 019，＋∞)．(2)由g(x)＝|x＋1|，不等式g(x)－2>x－f(x)恒成立，知|x＋1|＋|x－a|>2恒成立，即(|x＋1|＋|x－a|)min>2.而|x＋1|＋|x－a|≥|(x＋1)－(x－a)|＝|1＋a|，所以|1＋a|>2，解得a>1或a<－3.即a的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞)．1．对于任意实数a，b，已知|a－b|≤1，|2a－1|≤1，且恒有|4a－3b＋2|≤m，求实数m的取值范围．解 因为|a－b|≤1，|2a－1|≤1，所以|3a－3b|≤3，≤，所以|4a－3b＋2|＝≤|3a－3b|＋＋≤3＋＋＝6，即|4a－3b＋2|的最大值为6，所以m≥|4a－3b＋2|max＝6.即实数m的取值范围为[6，＋∞)．2．已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|，g(x)＝x2－x－a.(1)当a＝5时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)解集包含[2,3]，求a的取值范围．解 (1)当a＝5时，不等式f(x)≥g(x)等价于|x＋1|－|x－2|≥x2－x－5，①当x<－1时，①式化为x2－x－2≤0，无解；当－1≤x≤2时，①式化为x2－3x－4≤0，得－1≤x≤2；当x>2时，①式化为x2－x－8≤0，得2
