高考数学系统性专题专章复习-第十章 10.2.docx

三教上人（A+版-Applicable Achives）10.2　排列与组合最新考纲　1.通过实例，理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．1．排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示．3．排列数、组合数的公式及性质公式(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) ＝(2)C＝＝＝性质(3)0！＝1；A＝n！(4)C＝C；C＝C＋C概念方法微思考1．排列问题和组合问题的区别是什么？提示　元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合．2．排列数与组合数公式之间有何关系？它们公式都有两种形式，如何选择使用？提示　(1)排列数与组合数之间的联系为CA＝A.(2)两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式．前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证．3．解排列组合综合应用问题的思路有哪些？提示　解排列组合综合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手．“分析”是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个相互联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　　)(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．(　　)(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　√　)(4)(n＋1)！－n！＝nn！.(　√　)(5)若组合式C＝C，则x＝m成立．(　　)(6)kC＝nC.(　√　)题组二　教材改编2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　)A．144 B．120 C．72 D．24答案　D解析　“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A＝432＝24.3．用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为(　　)A．8 B．24 C．48 D．120答案　C解析　末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，共有AA＝48(种)排法，所以偶数的个数为48.题组三　易错自纠4．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　)A．192种 B．216种C．240种 D．288种答案　B解析　第一类：甲在最左端，有A＝54321＝120(种)排法；第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有4A＝44321＝96(种)排法．所以共有120＋96＝216(种)排法．5．为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为(　　)A．180 B．240C．540 D．630答案　C解析　依题意，选派方案分为三类：①一个国家派4名，另两个国家各派1名，有A＝90(种)；②一个国家派3名，一个国家派2名，一个国家派1名，有CCCA＝360(种)；③每个国家各派2名，有A＝90(种)，故不同的选派方案种数为90＋360＋90＝540.6．寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有______种．(用数字作答)答案　45解析　设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有BADC，BDAC，BCDA，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有95＝45(种)．题型一　排列问题1．用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有(　　)A．96个 B．78个C．72个 D．64个答案　B解析　根据题意知，要求这个五位数比20 000大，则首位必须是2,3,4,5这4个数字中的一个，当首位是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有A＝24(个)；当首位是2,4,5时，由于百位数不能是数字3，则符合要求的五位数有3(A－A)＝54(个)，因此共有54＋24＝78(个)这样的五位数符合要求．故选B.2．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)答案　1 560解析　由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A＝4039＝1 560(条)留言．3．6名同学站成1排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有________种不同站法．答案　480解析　方法一　(位置优先法)先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步：第1步，从除甲外的5人中选2人站在最左边和最右边，有A种站法；第2步，余下4人(含甲)站在剩下的4个位置上，有A种站法．由分步乘法计数原理可知，共有AA＝480(种)不同的站法．方法二　(元素优先法)先安排甲的位置(既不站在最左边又不站在最右边)，再安排其他5人的位置，分为两步：第1步，将甲排在除最左边、最右边外的任意位置上，有A种站法；第2步，余下5人站在剩下的5个位置上，有A种站法．由分步乘法计数原理可知，共有AA＝480(种)不同的站法．思维升华 排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．题型二　组合问题例1 男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名．现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)队长中至少有1人参加；(4)既要有队长，又要有女运动员．解　(1)分两步完成：第一步，选3名男运动员，有C种选法；第二步，选2名女运动员，有C种选法．由分步乘法计数原理可得，共有CC＝120(种)选法．(2)方法一　“至少有1名女运动员”包括以下四种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类加法计数原理可得总选法共有CC＋CC＋CC＋CC＝246(种)．方法二　“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解．从10人中任选5人有C种选法，其中全是男运动员的选法有C种．所以“至少有1名女运动员”的选法有C－C＝246(种)．(3)方法一　(直接法)可分类求解：“只有男队长”的选法种数为C；“只有女队长”的选法种数为C；“男、女队长都入选”的选法种数为C，所以共有2C＋C＝196(种)选法．方法二　(间接法)从10人中任选5人有C种选法，其中不选队长的方法有C种．所以“至少有1名队长”的选法有C－C＝196(种)．(4)当有女队长时，其他人任意选，共有C种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有C种选法，其中不含女运动员的选法有C种，所以不选女队长时的选法共有(C－C)种．所以既要有队长又要有女运动员的选法共有C＋C－C＝191(种)．思维升华 组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．跟踪训练1 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解　(1)从余下的34种商品中，选取2种有C＝561种取法，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种．(2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者C－C＝C＝5 984种取法．∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有CC＝2 100种取法．∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．(4)选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，共有选取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555(种)．∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种．(5)方法一　(间接法)选取3种的总数为C，因此共有选取方式C－C＝6 545－455＝6 090(种)．∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．方法二　(直接法)选取3种真货有C种，选取2种真货有CC种，选取1种真货有CC种，因此共有选取方式C＋CC＋CC＝6 090(种)．∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．题型三　排列与组合的综合问题命题点1　相邻问题例2 3名男生、3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为(　　)A．2 B．9C．72 D．36答案　C解析　可分两步完成：第一步，把3名女生作为一个整体，看成一个元素，3名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排成一排有A种排法；第二步，3名女生排在一起有A种排法，3名男生排在一起有A种排法，故排法种数为AAA＝72.命题点2　相间问题例3 某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　　)A．72 B．120C．144 D．168答案　B解析　先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空．安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有ACA＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有AA＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法．命题点3　特殊元素(位置)问题例4 大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，。