高考数学(理)二轮复习-第2部分-专题2-第2讲-数列求和及数列的简单应用(大题).docx

三教上人（A+版-Applicable Achives）三教上人（A+版-Applicable Achives）1第 2 讲数列求和及数列的简单应用(大题)热点一等差、等比数列基本量的计算解决有关等差数列、等比数列问题，要立足于两个数列的概念，设出相应基本量，充分利用通项公式、求和公式、数列的性质确定基本量.解决综合问题的关键在于审清题目，弄懂来龙去脉，揭示问题的内在联系和隐含条件，形成解题策略.例1(20XX六安市第一中学模拟 )已知正数数列an的前n 项和为Sn，满足a SnSn1(n2)，a11.2 n(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn(1an)2a(1an)，若bn是递增数列，求实数 a 的取值范围.解(1)a SnSn1(n2)，2 naSn1Sn2(n3).2n1相减可得 a aanan1，2 n2n1an0，an10，anan11(n3).当 n2 时，a a1a2a1，2 2a 2a2，a20，a22.2 2因此 n2 时，anan11 成立.数列an是等差数列，公差为 1.an1n1n.(2)bn(1an)2a(1an)(n1)2a(n1)，bn是递增数列，bn1bnn2an(n1)2a(n1)2na10，即 a12n 恒成立，a1.实数 a 的取值范围是(1，).三教上人（A+版-Applicable Achives）三教上人（A+版-Applicable Achives）2跟踪演练 1(20XX乐山调研)已知等差数列an中，a25，a1，a4，a13成等比数列.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列an的前 n 项和 Sn.解(1)设等差数列an的公差为 d，则 a15d，a452d，a13511d，因为 a1，a4，a13成等比数列，所以(52d)2(5d)(511d)，化简得 d22d，则 d0 或 d2，当 d0 时，an5.当 d2 时，a15d3，an3(n1)2 2n1(nN*).所以，当 d0 时，an5(nN*)；当 d2 时，an2n1(nN*).(2)由(1)知，当 an5 时，Sn5n.当 an2n1 时，a13，则 Snn22n(nN*).n32n12热点二数列的证明问题判断数列是否为等差或等比数列的策略(1)将所给的关系式进行变形、转化，以便利用等差数列和等比数列的定义进行判断；(2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列，则只需说明某连续三项(如前三项)不是等差(等比)数列即可.例 2已知an是各项都为正数的数列，其前 n 项和为 Sn，且 Sn为 an与的等1an差中项.(1)求证：数列S 为等差数列；2 n(2)求数列an的通项公式；三教上人（A+版-Applicable Achives）三教上人（A+版-Applicable Achives）3(3)设 bn，求bn的前 n 项和 Tn.1nan(1)证明由题意知 2Snan，即 2Snana 1，1an2 n当 n2 时，有 anSnSn1，代入式得2Sn(SnSn1)(SnSn1)21，整理得 S S1(n2).2 n2n1又当 n1 时，由式可得 a1S11(负值舍去)，数列S 是首项为 1，公差为 1 的等差数列.2 n(2)解由(1)可得 S 1n1n，2 n数列an的各项都为正数，Sn，n当 n2 时，anSnSn1，nn1又 a1S11 满足上式，an(nN*).nn1(3)解由(2)得 bn1nan1nn n1(1)n()，nn1当 n 为奇数时，Tn1(1)()()()；232n1n2nn1n当 n 为偶数时，Tn1(1)()()()，232n1n2nn1n数列bn的前 n 项和 Tn(1)n(nN*).n跟踪演练 2已知 Sn为数列an的前 n 项和，且满足 Sn2ann4.(1)证明：Snn2为等比数列；(2)求数列Sn的前 n 项和 Tn.(1)证明原式可转化为Sn2(SnSn1)n4(n2)，即 Sn2Sn1n4，三教上人（A+版-Applicable Achives）三教上人（A+版-Applicable Achives）4所以 Snn22Sn1(n1)2.由 S12a114，得 S13，所以 S1124，所以Snn2是首项为 4，公比为 2 的等比数列.(2)解由(1)知 Snn22n1，所以 Sn2n1n2，所以 Tn(22232n1)(12n)2n2n412n12nn12.2n3n23n82热点三数列的求和问题1.裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次项消，有的是间隔项消.常见的裂项方式有： ；1nn11n1n11nnk1k(1n1nk)1n2112(1n11n1).14n2112(12n112n1)2.如果数列an是等差数列，bn是等比数列，那么求数列anbn的前 n 项和 Sn时，可采用错位相减法.用错位相减法求和时，应注意：等比数列的公比为负数的情形；在写出“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“SnqSn”的表达式.例 3(20XX河南省九师联盟模拟)已知等差数列an的前n 项和为Sn，且满足Sn2 (nN*).数列bn的前 n 项和为 Tn，且满足 Tn2bn(nN*).(an12)(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列的前 n 项和 Sn.anbn2解(1)由 Sn2，得 S12a1，(an12)(a112)解得 a11.由 S2a1a21a22，(a212)解得 a23 或 a21.三教上人（A+版-Applicable Achives）三教上人（A+版-Applicable Achives）5若 a21，则 d2，所以 a33.所以 S3321，(a312)故 a21 不合题意，舍去.故 a23，所以等差数列an的公差 da2a12，故 an2n1.数列bn对任意正整数 n 满足 Tn2bn.当 n1 时，b1T12b1，解得 b11；当 n1 时，bnTnTn1(2bn)(2bn1)bn1bn，所以 bn bn1(n2).12所以bn是以首项 b11，公比 q 的等比数列，12故数列bn的通项公式为 bnn1.(12)(2)由(1)知，anbn22n12n所以 Sn ，123225232n32n12n12n所以Sn，121223232n32n2n12n1，得Sn 121222222322n2n12n1 12(1212212n1)2n12n1 12121(12)n11122n12n1 1n1，12(12)2n12n1所以 Sn3.2n32n跟踪演练 3(20XX济宁模拟)等差数列an的公差为正数，a11，其前 n 项和为 Sn；数列bn为等比数列，b12，且 b2S212，b2S310.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)设 cnbn，求数列cn的前 n 项和 Tn.1Sn解(1)设等差数列an的公差为 d，等比数列bn的公比为 q，则Error!解得Error!三教上人（A+版-Applicable Achives）三教上人（A+版-Applicable Achives）6ann，nN*，bn2n，nN*.(2)由(1)知 Sn.nn12cnbn2n2n2，1Sn2nn1(1n1n1)Tn(222232n)2(11212131n1n1)2212n12(11n1)2n1.2n1真题体验(20XX全国，理，19)已知数列an和bn满足a11，b10,4an13anbn4,4bn13bnan4.(1)证明：anbn是等比数列，anbn是等差数列；(2)求an和bn的通项公式.(1)证明由题设得 4(an1bn1)2(anbn)，即 an1bn1 (anbn).12又因为 a1b11，所以anbn是首项为 1，公比为 的等比数列.12由题设得 4(an1bn1)4(anbn)8，即 an1bn1anbn2.又因为 a1b11，所以anbn是首项为 1，公差为 2 的等差数列.(2)解由(1)知，anbn，anbn2n1.12n1所以 an (anbn)(anbn)n ，1212n12bn (anbn)(anbn)n .1212n12押题预测已知数列an为等差数列，a7a210，且 a1，a6，a21依次成等比数列.(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn，数列bn的前 n 项和为 Sn，若 Sn，求 n 的值.1anan1225解(1)设数列an的公差为 d，因为 a7a210，三教上人（A+版-Applicable Achives）三教上人（A+版-Applicable Achives）7所以 5d10，解得 d2.因为 a1，a6，a21依次成等比数列，所以 a a1a21，2 6即(a152)2a1(a1202)，解得 a15.所以 an2n3.(2)由(1)知 bn，1anan112n32n5所以 bn，12(12n312n5)所以 Sn Error!Error!，12n52n5由，得 n10.n52n5225A 组专题通关1.(20XX日照模拟)已知数列an是等差数列，其前 n 项和为 Sn，且a12，S312.(1)求数列an的通项公式；(2)令 bn2an，求数列bn的前 n 项和 Tn.解(1)因为数列an是等差数列，由 S312，得 3a212，所以 a24，又 a12，所以公差 d2，所以 an2(n1)22n，故数列an的通项公式 an2n(nN*).(2)由(1)知，bn22n4n，所以数列bn是首项为 4，公比 q4 的等比数列，所以数列bn的前 n 项和 Tn (4n1).414n14432.(20XX潍坊模拟)Sn为等比数列an的前 n 项和，已知 a49a2，S313，且公比 q0.(1)求 an及 Sn；(2)是否存在常数 ，使得数列Sn是等比数列？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.解(1)由题意得Error!解得Error!三教上人（A+版-Applicable Achives）三教上人（A+版-Applicable Achives）8所以 ana1qn13n1，nN*，Sn，nN*.1 13n133n12(2)假设存在常数 ，使得数列Sn是等比数列，因为 S11，S24，S313，又因为(S2)2(S1)(S3)，所以(4)2(1)(13)，所以 ，12此时，Sn 3n，1212则3，Sn112Sn1212 3n112 3n故存在 ，使得数列是以 S1 为首项，3 为公比的等比数列.12Sn1212323.(20XX江南十校模拟)已知数列an与bn满足：a1a2a3an2bn(nN*)，且an为正项等比数列，a12，b3b24.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)若数列cn满足 cn(nN*)，Tn为数列cn的前 n 项和，证明：anbnbn1Tn0，设an的公比为 q，a1q28q2，an22n12n(nN*).2bn2122232n2n12，212n12bn2n1(nN*).(2)证明由已知 cnanbnbn12n2n12n11，12n112n11三教上人（A+版-Applicable Achives）三教上人（A+版-Applicable Achives）9Tnc1c2cn121112211221123112n112n111，12n11当 nN*时，2n11，0，11，12n1112n11即 Tn1.B 组能力提高4.已知数列an满足 a12，an12(Snn1)(nN*)，令 bnan1.(1)求证：bn是等比数列；(2)记数列nbn的前 n 项和为 Tn，求 Tn；(3)求证： ，1ak13k113k得 1a11a21a31an1313213n .13(113n)113121213n又1ak13k13k113k13k113k13k13k11，32(13k113k11)所以1a11a21a31an Error!Error!1232 1232(132113n11) ，123163213n11111。