高考数学系统性专题专章复习-第十章 10.3.docx

三教上人（A+版-Applicable Achives）10.3　二项式定理最新考纲　能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)二项展开式的通项公式Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项二项式系数二项展开式中各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})2.二项式系数的性质(1)C＝1，C＝1.C＝C＋C.(2)C＝C.(3)当n是偶数时， 项的二项式系数最大；当n是奇数时，与项的二项式系数相等且最大．(4)(a＋b)n展开式的二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.概念方法微思考1．(a＋b)n与(b＋a)n的展开式有何区别与联系？提示　(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同．2．二项展开式形式上有什么特点？提示　二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.3．二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？提示　不一定最大，当二项式中a，b的系数为1时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“”)(1)Can－kbk是二项展开式的第k项．(　　)(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　)(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　√　)(4)(a－b)n的展开式第k＋1项的系数为Can－kbk.(　　)(5)(x－1)n的展开式二项式系数和为－2n.(　　)题组二　教材改编2．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于(　　)A．80 B．40 C．20 D．10答案　B解析　Tk＋1＝C(2x)k＝C2kxk，当k＝2时，x2的系数为C22＝40.3．若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(　　)A．10 B．20 C．30 D．120答案　B解析　二项式系数之和2n＝64，所以n＝6，Tk＋1＝Cx6－kk＝Cx6－2k，当6－2k＝0，即当k＝3时为常数项，T4＝C＝20.4．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为(　　)A．9 B．8 C．7 D．6答案　B解析　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.题组三　易错自纠5．(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是(　　)A．C B．CC．C D．(－1)m－1C答案　D解析　(x－y)n二项展开式第m项的通项公式为Tm＝C(－y)m－1xn－m＋1，所以系数为C(－1)m－1.6．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N*)是一个单调递增数列，则k的最大值是(　　)A．5 B．6 C．7 D．8答案　B解析　由二项式定理知，an＝C(n＝1,2,3，…，11)．又(x＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，所以a6＝C，则k的最大值为6.7．(20XX海淀模拟)在5的二项展开式中，x3的系数为________．答案　10解析　因为其通项为Tk＋1＝Cx5－kk＝2kCx5－2k，令5－2k＝3，得k＝1，所以x3的系数为21C＝10.题型一　二项展开式命题点1　求指定项(或系数)例1 (1)(20XX全国Ⅰ)(1＋x)6的展开式中x2的系数为(　　)A．15 B．20 C．30 D．35答案　C解析　因为(1＋x)6的通项为Cxk，所以(1＋x)6的展开式中含x2的项为1Cx2和Cx4.因为C＋C＝2C＝2＝30，所以(1＋x)6的展开式中x2的系数为30.故选C.(2)在(x2－4)5的展开式中，含x6的项为________．答案　160x6解析　因为(x2－4)5的展开式的第k＋1项为Tk＋1＝C(x2)5－k(－4)k＝(－4)kCx10－2k，令10－2k＝6，得k＝2，所以含x6的项为T3＝(－4)2Cx6＝160x6.命题点2　求参数例2 (1)(20XX海口调研)若(x2－a)10的展开式中x6的系数为30，则a等于(　　)A. B. C．1 D．2答案　D解析　由题意得10的展开式的通项公式是Tk＋1＝Cx10－kk＝Cx10－2k，10的展开式中含x4(当k＝3时)，x6(当k＝2时)项的系数分别为C，C，因此由题意得C－aC＝120－45a＝30，由此解得a＝2，故选D.(2)若6的展开式中常数项为，则实数a的值为(　　)A．2 B. C．－2 D．答案　A解析　6的展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)6－kk＝Ckx12－3k，令12－3k＝0，得k＝4.故C4＝，即4＝，解得a＝2，故选A.思维升华 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．跟踪训练1 (1)(20XX全国Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)A．－80 B．－40 C．40 D．80答案　C解析　因为x3y3＝x(x2y3)，其系数为－C22＝－40，x3y3＝y(x3y2)，其系数为C23＝80.所以x3y3的系数为80－40＝40.故选C.(2)(x＋a)10的展开式中，x7项的系数为15，则a＝______.(用数字填写答案)答案　解析　通项为Tk＋1＝Cx10－kak，令10－k＝7，∴k＝3，∴x7项的系数为Ca3＝15，∴a3＝，∴a＝.题型二　二项式系数的和与各项的系数和问题例3 (1)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________.答案　3解析　设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5， ①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5. ②①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，即展开式中x的奇数次幂项的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.(2)(20XX汕头质检)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．答案　1或－3解析　令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，∴(2＋m)9m9＝39，∴m(2＋m)＝3，∴m＝－3或m＝1.(3)若n的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a1＋a2＋…＋an的值为________．答案　255解析　n展开式的第k＋1项为Tk＋1＝C(x2)n－kk＝C(－1)kx2n－3k，当k＝5时，2n－3k＝1，∴n＝8.对(1－3x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝28＝256.又当x＝0时，a0＝1，∴a1＋a2＋…＋a8＝255.思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m (a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法．(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.跟踪训练2 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.解　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1. ①令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37. ②(1)∵a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.(2)(①－②)2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.(3)(①＋②)2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093.(4)方法一　∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.方法二　|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|即为(1＋2x)7展开式中各项的系数和，令x＝1，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187.题型三　二项式定理的应用例4 (1)设a∈Z且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a等于(　　)A．0 B．1 C．11 D．12答案　D解析　512 012＋a＝(52－1)2 012＋a＝C522 012－C522 011＋…＋C52(－1)2 011＋C(－1)2 012＋a，∵C522 012－C522 011＋…＋C52(－1)2 011能被13整除且512 012＋a能被13整除，∴C(－1)2 012＋a＝1＋a也能被13整除，因此a的值为12.(2)设复数x＝(i是虚数单位)，则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 017等于(　　)A．i B．－I C．－1＋i D．－1－i答案　C解析　x＝＝＝－1＋i，Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 017＝(1＋x)2 017－1＝i2 017－1＝i－1.思维升华 (1)逆用二项式定理的关键根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解．(2)利用二项式定理解决整除问题的思路①观察除式与被除式间的关系；②将被除式拆成二项式；③结合二项式定理得出结论．跟踪训练3 (1)(20XX泉州模拟)1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C除以88的余数是(　　)A．－1 B．1 C．－87 D．87答案　B解析　1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C889＋…＋C88＋1，∵。