《导数和微分》.ppt

1 导数的概念导数的概念 2 求导法则求导法则 3 参变量函数的导数参变量函数的导数 4 高阶导数高阶导数 5 微分微分.1 导数的概念.一一 问题的提出问题的提出1.直线运动的速度问题直线运动的速度问题如图如图,取极限得取极限得瞬时速度瞬时速度.2.切线问题切线问题切线：割线的极限切线：割线的极限播放播放MNT割线割线MN绕点绕点M旋旋转而趋向转而趋向极限位置极限位置MT,直线直线MT就称就称为曲线为曲线C在点在点M处处的切线的切线.二二 导数的定义导数的定义1.定义定义.导数定义其它常见形式：导数定义其它常见形式：即即.1）注注12 导函数导函数.很明显很明显2）3）.右导数右导数:3 单侧导数单侧导数左导数左导数:判断函数在某一点可导的充分必要条件：判断函数在某一点可导的充分必要条件：.例例解解.三三 由定义求导数举例由定义求导数举例步骤步骤:例例1 1解解.例例2 2解解更一般地更一般地例如例如,.例例3 3解解.例例4 4解解.例例5 5解解.四 导数的意义1 几何意义几何意义切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为.四、导数几何意义的应用 1、根据导数的几何意义，可以得到曲线 在定点 处的切线方程为： 2、如果 ，则法线的斜率为 ，从而点 处法线方程为：. 例6 求曲线 在点（4，2）处的切线方程和法线方程。

解： （1）函数 在x=2处的导数： （2）所求切线的斜率 即 （4）法线的斜率 ，故所求的法线方程为： 即 （3）由直线的点斜式方程可得曲线的切线方程为： . 例7 曲线 上哪些点处的切线与直线 平行？ 解：由导数的几何意义可知，曲线 在点 处的 切线的斜率为： 而直线 的斜率为 解此方程，得 将 代入曲线方程 ，得 根据两直线平行的条件有所以，曲线 在点 处的切线与直线 平行u 练习 求曲线 在点（1，1）处的切线方程和法线方程 解： 所以，切线方程为： 法线方程为： 即即即切线的斜率为： .例例8 8解解 根据导数的几何意义根据导数的几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为.2 简单的物理意义简单的物理意义1 1）变速直线运动中）变速直线运动中路程对时间的导数为物路程对时间的导数为物体的瞬时速度体的瞬时速度.2 2）交流电路中）交流电路中电量对时间的导数为电流强电量对时间的导数为电流强度度.3 3）非均匀物体中）非均匀物体中质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导的导数为物体的线数为物体的线(面面,体体)密度密度.五五 可导与连续的关系可导与连续的关系结论：结论： 可导的函数一定是连续的。

可导的函数一定是连续的证证.比如比如解解注意注意: : 反之不成立反之不成立.即连续不一定可导即连续不一定可导六 小结与思考判断题1. 导数的概念与实质导数的概念与实质: 增量比的极限增量比的极限;3. 导数的几何意义与物理意义导数的几何意义与物理意义: 5. 函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;4. 由定义求导数由定义求导数.思考判断题思考判断题1、初等函数在其定义区间内必可导、初等函数在其定义区间内必可导2、初等函数的导数仍是初等函数、初等函数的导数仍是初等函数.六、练习六、练习1、利用幂函数的求导公式，求下列函数的导数、利用幂函数的求导公式，求下列函数的导数.2、熟记以下导数公式：、熟记以下导数公式： （1） （C)=0（2）( 3)（4） （5） 八、作业八、作业 P94: 1、 3、 4、 5、 6、 7. .2 求导法则求导法则.一一 和、差、积、商的求导法则和、差、积、商的求导法则定理定理2定理定理1证证(1)(1)(2)(2)略略. .推论推论例例1 1解解定理定理3推论推论注意注意:例例2 2解解定理定理4证证注意注意:例例3 3解解同理可得同理可得例例4 4解解同理可得同理可得例例5 5分段函数求导时分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导数求.解解二二 反函数的导数反函数的导数证证法则法则于是有于是有即是反函数的导数等于直接函数导数的倒数即是反函数的导数等于直接函数导数的倒数.例例1 1解解同理可得同理可得例例2 2解解同理可得同理可得例例3 3解解特别地特别地三 复合函数的求导法则链式法则链式法则（Chain Rules)：证明证明注注1：链式求导法则，即：链式求导法则，即因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变量求导等于因变量对中间变量求导, ,乘以中间变量对自乘以中间变量对自变量求导变量求导. .注注2 例例4 4解解例例5 5解解注：熟练以后，可以不写出中间变量，此例可以注：熟练以后，可以不写出中间变量，此例可以这样写：这样写：例例6 6练习：练习：解解 例例7 求求 的导数。

的导数 解：解： 设设 由由 得得 熟悉了复合函数的求导法则后，中间变量默记在心，熟悉了复合函数的求导法则后，中间变量默记在心，由外及里、逐层求导由外及里、逐层求导 例例8 求求 的导数的导数解：解： y= (3x+2)5=5(3x+2)4(3x+2)=5(3x+2)4(3+0)=15(3x+2)4 例例9 求求 的导数的导数解：解： y=(cosx)2=2cosx (cosx) =2cosx (-sinx) 例例10 求求 的导数的导数 解：解：解：解：y=sin(x3)2=2sin(x3) sin(x3)=2sin(x3) cos(x3) (x3)=2sin(x3) cos(x3) 3x2=6x2sin(x3) cos(x3) 例例11 求求 的导数的导数解：解：解：解：y=lnsin(4x)= sin(4x) = cos(4x)(4x) = cos(4x) 例例12 求求 的导数的导数解：解： 练习练习 求下列函数的导数求下列函数的导数 1.解：解： 2.解：解： 3.解：解： 4. 解 ： 例例13 求下列函数的导数求下列函数的导数综合运用求导法则求导综合运用求导法则求导 例例14 求下列函数的导数求下列函数的导数解：解： （1）解 ：（2）l 先化简再运用导数法则求导先化简再运用导数法则求导 例例15 求下列函数的导数求下列函数的导数 解解 ：先将已知函数分母有理化，先将已知函数分母有理化，得得（1）解： 因为 所以解：因为所以（2）（3）练习练习 求下列函数的导数求下列函数的导数四、双曲函数与反双曲函数的导数四、双曲函数与反双曲函数的导数只证明其中一个公式只证明其中一个公式例例1616解解1 常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式五五 小结小结2 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu= = =可导，则可导，则（1） vuvu = = )(, （2）uccu = = )(（3）vuvuuv + + = = )(, （4）)0()(2 - - = = vvvuvuvu.( ( 是常数是常数) )3 复合函数的求导法则复合函数的求导法则利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决决.(1)、复合函数求导的关键，在于首先把、复合函数求导的关键，在于首先把复合函数分解成复合函数分解成初等函数或基本初等函数的和、差、积、商初等函数或基本初等函数的和、差、积、商，然后运用，然后运用复合函数的求导法则和适当的导数公式进行计算。

求导复合函数的求导法则和适当的导数公式进行计算求导之后应该把引进的中间变量代换成原来的自变量之后应该把引进的中间变量代换成原来的自变量2)、 熟悉了复合函数的求导法则后，可不写出中间变量，熟悉了复合函数的求导法则后，可不写出中间变量，直接直接由外及里、逐层处理复合关系由外及里、逐层处理复合关系进行求导进行求导 (3)、有些函数可先化简再求导有些函数可先化简再求导 u 作业作业 p102 2：(1) (12) 3: (1) (26)六六 思考判断题思考判断题1 幂函数在其定义域内一定可导幂函数在其定义域内一定可导 2 任何初等函数的导数都可以按常数和基本任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出初等函数的求导公式和上述求导法则求出.3 3 初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.3 参变量函数的导数参变量函数的导数. 由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数消参数法消参数法 消参困难或无法消参的求导可用复合函数消参困难或无法消参的求导可用复合函数 求导方法求导方法1 由参数方程确定的函数的定义由参数方程确定的函数的定义2 由参数方程所确定的函数的求导数的方法由参数方程所确定的函数的求导数的方法例如例如由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得例例1 1解解:先求运动的方向先求运动的方向再求速度的大小再求速度的大小例例2 2解解 所求切线方程为所求切线方程为例例3 3 解解相关变化率问题相关变化率问题相关变化率解决的问题相关变化率解决的问题: :已知其中一个变化率时求出另一个变化率已知其中一个变化率时求出另一个变化率例例4 4解解例例5 5解解 小结与思考判断题小结与思考判断题隐函数求导方法隐函数求导方法: : 直接对方程两边求导直接对方程两边求导;对数求导法对数求导法: : 对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的求导按隐函数的求导法则求导法则求导;参数方程求导参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则实质上是利用复合函数求导法则;相关变化率相关变化率: : 通过函数关系确定两个相互依赖的通过函数关系确定两个相互依赖的变化率变化率; ; 由其中一个变化率时求出另一个变化率由其中一个变化率时求出另一个变化率思考题思考题4 高阶导数高阶导数.一 问题的提出(Introduction)变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度问题问题 即加速度是位移对时间的导数的导数。

即加速度是位移对时间的导数的导数二 高阶导数的定义记作记作类似地，类似地，二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,记作记作.三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.高阶导数的定义高阶导数的定义.三 高阶导数的求法例例1 1解解1 1 直接法直接法求高阶导数就是多次接连地求导数求高阶导数就是多次接连地求导数.例例2 2.例例3 3解解.例例4 4解解2 数学归纳法证明高阶导数数学归纳法证明高阶导数.例例5 5解解同理可得同理可得.3 高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则公式（公式（3）称为）称为莱布尼兹公式莱布尼兹公式.例例6 6解解.3 3 间接法间接法几个初等函数的高阶导数几个初等函数的高阶导数利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式, 通过四则通过四则运算运算, 变量代换等方法变量代换等方法, 求出求出n阶导数阶导数.例例7 7解解.四四 小结与思考判断题小结与思考判断题高阶导数的定义高阶导数的定义;高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则;n阶导数的求法阶导数的求法;几个初等函数的高阶导数几个初等函数的高阶导数.思考判断题思考判断题.5 微分微分.一 问题的提出1 1 面积问题面积问题 设有一边长为设有一边长为 的正方形的正方形.2 自由落体问题自由落体问题.二二 微分的定义微分的定义1 定义定义. 恩格斯在自然辩证法中，对微分作了一个形恩格斯在自然辩证法中，对微分作了一个形象的解释：象的解释： 硫磺在一定温度下被蒸发为硫磺气，取一块正方硫磺在一定温度下被蒸发为硫磺气，取一块正方形硫磺薄板形硫磺薄板 ，放入容器，立刻降低容器内的温度，放入容器，立刻降低容器内的温度，则硫磺气凝固为硫磺，一部分附着于薄板，设薄板则硫磺气凝固为硫磺，一部分附着于薄板，设薄板的一对相邻的两边和两面均被某种不能附着硫磺的的一对相邻的两边和两面均被某种不能附着硫磺的物质遮盖，再设另一对相邻两。