全等三角形证明经典50的题目(含答案详解).doc

AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求ADADBC解：延长AD到E,使AD=DE∵D是BC中点∴BD=DC 在△ACD和△BDE中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE中 AB-BE＜AE＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD＜4+21＜AD＜3∴AD=2：D是AB中点，∠ACB=90，求证：DABC延长CD与P，使D为CP中点连接AP,BP∵DP=DC,DA=DB∴ACBP为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP为矩形∴AB=CP=1/2AB：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2ABCDEF21证明：连接BF和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴ 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在三角形BEF中,BF=EF∴ ∠EBF=∠BEF∵ ∠ABC=∠AED∴ ∠ABE=∠AEB∴ AB=AE在三角形ABF和三角形AEF中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴ 三角形ABF和三角形AEF全等。

∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=ACBACDF21E过C作CG∥EF交AD的延长线于点GCG∥EF，可得，∠EFD＝CGDDE＝DC ∠FDE＝∠GDC〔对顶角〕∴△EFD≌△CGD EF＝CG ∠CGD＝∠EFD 又，EF∥AB∴，∠EFD＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD＝∠2∴△AGC为等腰三角形， AC＝CG 又 EF＝CG∴EF＝AC：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠CA证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD 〔SAS〕∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180，求证：AE=AD+BE证明： 在AE上取F，使EF＝EB，连接CF ∵CE⊥AB ∴∠CEB＝∠CEF＝90 ∵EB＝EF，CE＝CE， ∴△CEB≌△CEF ∴∠B＝∠CFE ∵∠B＋∠D＝180，∠CFE＋∠CFA＝180 ∴∠D＝∠CFA ∵AC平分∠BAD ∴∠DAC＝∠FAC ∵AC＝AC ∴△ADC≌△AFC〔SAS〕 ∴AD＝AF ∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

求证：BC=AB+DC在BC上截取BF=AB，连接EF∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠FBE又∵BE=BE∴⊿ABE≌⊿FBE〔SAS〕∴∠A=∠BFE∵AB//CD∴∠A+∠D=180∵∠BFE+∠CFE=180∴∠D=∠CFE又∵∠DCE=∠FCE CE平分∠BCD CE=CE∴⊿DCE≌⊿FCE〔AAS〕∴CD=CF∴BC=BF+CF=AB+CD13.：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠CDCBAFEAB‖ED，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度，∵∠EAB=∠BDE，∴∠AED=∠ABD，∴四边形ABDE是平行四边形∴得：AE=BD，∵AF=CD,EF=BC，∴三角形AEF全等于三角形DBC，∴∠F=∠CAB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠CABCD证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，〔当ADBC时，E点是射线AB,DC的交点〕那么：△AED是等腰三角形∴AE=DE而AB=CD∴BE=CE (等量加等量，或等量减等量〕∴△BEC是等腰三角形∴∠B=∠C.P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB

∵AE＝AB AP＝AP ∠EAP＝∠BAE，∴△EAP≌△BAP∴PE＝PBPC＜EC＋PE∴PC＜〔AC－AE〕＋PB∴PC－PB＜AC－AB∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE证明：在AC上取一点D，使得角DBC=角C∵∠ABC=3∠C∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C；∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;∴AB=AD∴AC – AB =AC-AD=CD=BD在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分线，∴AE垂直BD∵BE⊥AE∴点E一定在直线BD上，在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD∴点E也是BD的中点∴BD=2BE∵BD=CD=AC-AB∴AC-AB=2BE，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DCFAEDCB∵作AG∥BD交DE延长线于G∴AGE全等BDE ∴AG=BD=5∴AGF∽CDF AF=AG=5∴DC=CF=2 18．如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．解：延长AD至BC于点E, ∵BD=DC ∴△BDC是等腰三角形 ∴∠DBC=∠DCB 又∵∠1=∠2 ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2 即∠ABC=∠ACB ∴△ABC是等腰三角形 ∴AB=AC 在△ABD和△ACD中 ｛AB=AC ∠1=∠2 BD=DC ∴△ABD和△ACD是全等三角形〔边角边〕 ∴∠BAD=∠CAD ∴AE是△ABC的中垂线 ∴AE⊥BC ∴AD⊥BC19．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA证明：∵OM平分∠POQ∴∠POM＝∠QOM∵MA⊥OP，MB⊥OQ∴∠MAO＝∠MBO＝90∵OM＝OM∴△AOM≌△BOM 〔AAS〕∴OA＝OB∵ON＝ON∴△AON≌△BON 〔SAS〕∴∠OAB=∠OBA，∠ONA=∠ONB∵∠ONA+∠ONB＝180∴∠ONA＝∠ONB＝90∴OM⊥AB20．〔5分〕如图，AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．做BE的延长线，与AP相交于F点，∵PA//BC∴∠PAB+∠CBA=180，又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线∴∠EAB+∠EBA=90∴∠AEB=90，EAB为直角三角形在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形DEF与三角形BEC中，∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC∴AB=AF=AD+DF=AD+BC21．如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B延长AC到E 使AE=AC 连接 ED∵ AB=AC+CD∴ CD=CE可得∠B=∠E△CDE为等腰∠ACB=2∠B22．〔6分〕如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，假设AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．〔1〕求证：MB=MD，ME=MF〔2〕当E、F两点挪动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？假设成立请给予证明；假设不成立请说明理由． 〔1〕连接BE，DF．∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∴∠DEC=∠BFA=90，DE∥BF，在Rt△DEC和Rt△BFA中，∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA〔HL〕，∴DE=BF．∴四边形BEDF是平行四边形．∴MB=MD，ME=MF；〔2〕连接BE，DF．∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∴∠DEC=∠BFA=90，DE∥BF，在Rt△DEC和Rt△BFA中，∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA〔HL〕，∴DE=BF．∴四边形BEDF是平行四边形．∴MB=MD，ME=MF．23．：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，〔1〕求证：△AED≌△EBC．〔2〕观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．〔直接写出结果，不要求证明〕：证明：∵DC∥AB∴∠CDE＝∠AED∵DE＝DE，DC＝AE∴△AED≌△EDC∵E为AB中点∴AE＝BE∴BE＝DC∵DC∥AB∴∠DCE＝∠BEC∵CE＝CE∴△EBC≌△EDC∴△AED≌△EBC24．〔7分〕如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．证明：∵∠CEB=∠CAB=90∴ABCE四点共元∵∠AB E=∠CB E∴AE=CE∴∠ECA=∠EAC 取线段BD的中点G，连接AG，那么：AG=BG=DG∴∠GAB=∠ABG而：∠ECA=∠GBA (同弧上的圆周角相等〕∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB而：AC=AB∴△AEC≌△AGB∴EC=BG=DG∴BE=2CE25、如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。

求证：△AED≌△BFC证明：∵DF=CE，∴DF-EF=CE-EF，即DE=CF，在△AED和△BFC中，∵ AD=BC， ∠D=∠C ，DE=CF ∴△AED≌△BFC〔SAS〕 26、〔10分〕如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF求证：AM是△ABC的中线证明：∵BE‖CF∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM∵BE=CF∴△BEM≌△CFM∴BM=CM∴AM是△ABC的中线. 27、〔10分〕如图：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点求证：BD⊥AC∵△ABD和△BCD的三条边都相等∴△ABD=△BCD∴∠ADB=∠CD∴∠ADB=∠CDB=90∴BD⊥AC28、〔10分〕AB=AC，DB。