小升初分班奥数行程问题.docx

讲义编号：精锐训练学科老师讲义学员编号 : 年级：小六课时数： 3学员姓名 :科目：奥数 学科老师：课题 行程问题 1授课时间： 备课时间：教学目标解行程问题的题目重点是把握上述数量关系；搞清晰题目属于哪一种问题， 另外，应根据题意画出线段示意图来帮忙分析和懂得题意， 突破题目的难点， 这是特别有必要做的，是解此类题目必需养成的习惯；教学内容【专题学问点概述】我们把讨论路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题 .在对学校数学的学习中，我们已经接触过一些简洁的行程应用题，行程问题主要涉准时间（ t）、速度（ v）和路程（ s）这三个基本量，它们之间的关系如下：（1）速度时间=路程 可简记为： s = vt（2）路程 速度=时间 可简记为： t = s v（3）路程 时间=速度 可简记为： v = s t【授课批注】解行程问题得抓住不变量或相等量，最常见的相等量是时间相等；相遇、追及、钟表等等绝大部分行程问题都是建立在等时性下的运算，特殊是用比例解行程问题更是如此；一、相遇问题 .假设甲乙分别从 A,B 两地动身相向而行，速度分别为 v甲和v乙 ， A,B 两地相距 S,甲乙经过时间t 后相遇，那么我们可以明显的看出，在时间 t 内，甲乙共同走了一个 A,B 全长，即甲乙的路程之和 为 S.那么我们分别利用公式表示甲乙两人在时间 t 内所走的路程：s甲 v甲t ， s 乙v乙 t， 那么路程的和s s甲 s乙v甲 t v乙 t〔v甲v乙 〕 t所以我们得到了相遇问题中最重要的结论：速度和 相遇时间 =路程和二、追击问题与相遇问题类似的一个问题便是追击问题假设甲乙两人站在 100 米的跑道上，甲位于起点 〔0 米〕处，乙位于中间 5 米处，经过时间t 后甲乙同时到达终点，甲乙的速度分别为 v甲和v乙 ，那么我们可以看到经过时间 t 后，甲比乙多跑了 5 米，或者可以说，在时间 t 内甲的路程比乙的路程多 5 米，甲用了时间 t 追了乙 5 米由 s甲v甲 t ， s乙v乙 t， s甲 s乙v甲 t v乙 t〔 v甲v乙） t 5米由此我们可以得到追击问题的一个重要结论：速度差 追准时间 =路程差三、多人多次相遇追击问题多人相遇与追击问题往往是将几个“两人之间的相遇与追击问题”结合在了一起，这就第一要求同学们对前一讲中的两人相遇与追击问题的学问方法和分析技巧把握的扎扎实实；在 这个基础之上，解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够精确的对题目中所描 述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析，并且往往我们需要做的线段图不止一 个；多次相遇与追击涉及到两类行程路线，即直线型与环线型．对于这两种基本路线与方向中第 n 次相遇（追上）时路程 S 的关系，归纳如下：环线型 直线型迎面 后面同一出发点直径两端相遇〔路程和〕追上〔路程差〕同 nS 〔路向 程差〕nS+0.5 S〔路程差 〕2nS 2nS相nS 〔路对程和〕〔反nS- 0.5 S〔路程和〕〔2n-1〕S〔2n-1〕S向〕【习题精讲】【例 1】（难度等级 ※※）甲、乙两辆汽车分别从 A 、B 两地动身相向而行，甲车先行三小时后乙车从 B 地动身，乙车动身 5 小时后两车仍相距 15 千米．甲车每小时行 48 千米，乙车每小时行 50 千米．求 A 、 B 两地间相距多少千米？【分析与解】在整个过程中，甲车行驶了 3＋5= 8 〔小时 〕，行驶的路程为： 48 8 =384〔 千米 〕；乙车行驶了 5 小时， 行驶的路程为： 50 5 =250〔 千米 〕，此时两车仍相距 15 千米，所以 A 、 B 两地间相距： 384 ＋ 250 ＋ 15 =649〔 千 米 〕．【举一反三】（难度等级 ※※）甲、乙两人分别以每小时 6 千米和每小时 4 千米的速度从相距 30 千米的两地向对方的动身地前进．当两人之间的距离是 10 千米时，他们走了几小时？【分析与解】此题有两种情形，一种是甲、乙两人仍未相遇过，此时两人一共走 30－ 10 =20〔 千米 〕，另一种是甲、乙两 人相遇过后连续向前走到相距 10 千米，一共走 30 ＋10=40〔 千米 〕，所以有两种答案： 〔30 － 10〕 〔6 ＋ 4〕= 2〔 小时 〕；或 〔30 ＋ 10〕 〔6 ＋4〕=4〔 小时 〕．【例 2】（难度等级 ※※）小红和小强同时从家里动身相向而行；小红每分走 52 米，小强每分走 70 米，二人在途中的 A 处相遇；如小红提前 4 分动身，且速度不变，小强每分走 90 米，就两人仍在 A 处相遇；小红和小强两人的家相 距多少米？【分析与解】由于小红的速度不变， 相遇的地点不变， 所以小红两次从动身到相遇行走的时间不变， 也就是说， 小强其次次走的时间比第一次少 4 分钟；（ 70 4） （ 90-70 ）=14 分钟 可知小强其次次走了 14 分钟，他第一次走了 14＋ 4=18 分钟； 两人家的距离： （52+70 ） 18=2196 （米） ．【例 3】（难度等级 ※※※）甲、乙两车分别从 A 、B 两地同时动身相向而行， 6 小时后相遇在 C 点；假如甲车速度不变，乙车每小时多行 5千米，且两车仍从 A 、B 两地同时动身相向而行，就相遇地点距 C 点 12 千米，假如乙车速度不变，甲车每小时多行 5 千米，且两车仍从 A 、B 两地同时动身相向而行，就相遇地点距 C 点 16 千米；甲车原先每小时向多少千米？【分析与解】设乙增加速度后， 两车在 D 处相遇， 所用时间为 T 小时； 甲增加速度后， 两车在 E 处相遇； 由于这两种情形，两车的速度和相同，所以所用时间也相同；于是，甲、乙不增加速度时，经 T 小时分别到达 D、E ；DE ＝ 12＋ 16 ＝ 28（千米）；由于甲或乙增加速度每小时 5 千米，两车在 D 或 E 相遇，所以用每小时 5 千米的速度，T 小时 走过 28 千米，从而 T ＝28 5＝228小时 , 甲用 6－528 2＝5 5（小时），走过 12 千米，所以甲原先每小时行 12 ＝30 （千米）5【举一反三】（难度等级 ※※※）甲、乙二人分别从 A 、B 两地同时动身相向而行， 5 小时后相遇在 C 点；假如甲速度不变， 乙每小时多行 4 千米，且甲、乙仍从 A 、B 两地同时动身相向而行，就相遇点 D 距 C 点 lO 千米；假如乙速度不变，甲每小时 多行 3 千米，且甲、乙仍从 A 、B 两地同时动身相向而行，就相遇点 E 距 C 点 5 千米；问：甲原先的速度 是每小时多少千米？【分析与解】当乙每小时多行 4 千米时， 5 小时可以多行 20 千米，所以当两人相遇后连续向前走到 5 小时，甲可以走到 C 点，乙可以走到 C 点前面 20 千米；而相遇点 D 距 C 点 lO 千米，因此两人各走了 10 千米，所以甲乙二人此时速度相等，即原先甲比乙每小时多行 4 千 米； 同理可得，甲每小时多行 3 千米时，乙走 5 千米的时间甲可以走 10 千米，即甲的速度是乙的 2 倍 ； 〔4+3〕 〔2-1〕+4=11〔 千米 / 小时 〕，所以甲原先的速度是每小时 11千米；【例 4】（难度等级 ※※※）甲、乙两车的速度分别为 52 千米／时和 40 千米／时，它们同时从 A 地动身到 B 地去，动身后 6 时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车， 1 时后乙车也遇到了这辆卡车；求这辆卡车的速度；【分析与解】甲乙两车最初的过程类似追及，速度差 追准时间＝路程差；路程差为 72 千米； 72 千米就是 1 小时的甲车和卡车的路程和，速度和 相遇时间＝路程和，得到速度和为 72 千米／时，所以卡车速度为72-40=32 千米／时；【举一反三】（难度等级 ※※※）甲每分钟走 50 米，乙每分钟走 60 米，丙每分钟走 70 米，甲乙两人从 A 地，丙一人从 B 地同时相向动身，丙遇到乙后 2 分钟又遇到甲， A、B 两地相距多少米？【例 5】（难度等级 ※※※）每天早晨，小刚定时离家步行上学，张大爷也定时出家门漫步，他们相向而行，并且准时在途中相遇．有一天，小刚提早出门，因此比平常早 7 分钟与张大爷相遇．已知小刚步行速度是每分钟 70 米，张大爷步行速度是每分钟 40 米，那么这一天小刚比平常早出门多少分钟？【分析与解】比平常早 7 分钟相遇，那么小刚因提早出门而比平常多走的路程为小刚和张大爷 7 分钟合走的路程，所以当张大爷出门时小刚已经比平常多走了 （ 70 +40 ）7 =770 米，因此小刚比平常早出门 770 70 =11 分钟．【举一反三】（难度等级 ※※※）甲、乙两车从 A 、 B 两地同时动身相向而行， 5 小时相遇；假如乙车提前 1 小时动身，就差 13 千米到中点时与甲车相遇，假如甲车提前 1 小时动身，就过中点 37 千米后与乙车相遇，那么甲车与乙车的速度差等于多少千米 / 小时？【分析与解】第一次行程甲、乙两车同时动身，所以两车走的时间相同；其次次乙车提前 1 小时动身，所以这次乙车比甲车多走了 1 小时；第三次甲车提前 1 小时动身，所以这次甲车比乙车多走了 1 小时．那么假如把其次次和第三次这两次行程相加，那么甲车和乙车所走的时间就相同了，而所走的路程为 2 个全程．由于两人合走一个全程要 5 小时，所以合走两个全程要 10 小时．由于其次次在乙车在差 13 千米到中点与甲车相遇，所以此次甲车走了全程的一半加上 13 千米； 第三次在过中点 37 千米后与乙车相遇， 所以此次甲车走了全程的一半加上 37千米；这两次合起来甲车走了一个全程加上 13 ＋ 37 =50 千米，所以乙车走了一个全程少 50 千米，甲车比乙车多走 50 2 =100 千米．而这是在 10 小时内完成的，所以甲车与乙车的速度差为 100 10 =10 千米 /时【例 6】（难度等级 ※※※）甲、乙两车分别从 A ， B 两地同时动身相向而行， 6 小时后相遇在 C 点．假如甲车速度不变，乙车每小时多行 5 千米，且两车仍从 A ， B 两地同时动身相向而行，就相遇地点距 C 点 12 千米；假如乙车速度不变，甲车速度每小时多行 5 千米，就相遇地点距 C 点 16 千米．甲车原先每小时行多少千米？【分析与解】题中显现三次行程， 且每次甲、 乙两车。