一元二次方程的六种几何解法.pdf

2005年第10期 救学教学 10一忍5 一元二次方程的六种几何解法 2叨0 62 华东师范大学数学系200 3级教育硕士范宏业 在整个中学数学学习中 似乎很少介绍用 其他的方法如几何的方法来解答一元二次方 程 充其量只不过是用几何图形来说明一下一 元二次方程根的意义 而这还是在学习几何 内 容时使用了一元二次方程后才有的说明 本文 根据有关的文献资料 对历史上有名的一元二 次方程的几何解法进行了整理 从中我们可以 看出一元二次方程与曲线和几何图形的联系是 那样的紧密 在我们使用代数方法为几何问题 解决做出定量分析的同时 我们也可以使用几 何的方法来求一元二次方程的精确解 这样有 助于沟通两知识之间的联系 还数学知识整体 的面貌 也有助于学生思维灵活性的形成 从 中我们还可以看到一元二次方程解法的发展 演变 一 欧几里得的方法 一元二次方程的几何解法可以追溯到古希 腊 欧几里得 几何原本 卷二命题n给出 了等价于求一元二次方程正实根的方法 命题 V2 I8和V2 I9考虑 了一元二次方程 护 一 ax 护 二0和护一 ax一 护二 0的解法 其中 a 和b 表示已知线段的长度 后世数学家给出了所有 实根的几何方法 图1 2分别给出了方程 l 护 一 x b 0 2 xZ bx e o 3 2 一乙x一 e o 4 护 十6二一 c o的欧氏作图法 每种解法都能用简单的几何和代数方法来 检验 例如 检验 xl AC和 x 二 CB是方 二 AC 程护 一 b x 0的实根 注意到图中二景 怀 一 一曰 八 一 诉 推 n 尖 长 然后有 AC x CB 它代表着 c 二 CB 一 r 一 x 6 一x 或对 一 x b l 十 0 用同样的方法可以检验勿 CB 1 xl二AC xZ CB 2 二1二一 AC xZ二一 CB 3 x 二A B xZ 一A C 4 xl 一AB x Z二A C 图 2 其实 这种方法 我们并不陌生 在初中几 何的求值计算中曾使用过 那是运用一元二次 方程为求解几何问题服务的 例如 在图1中 我们已知D C的值 求AC或B C的长时 就是 先建立一元二次方程后求解而得的 因此 如 果我们将一元二次方程的几何解法与一元二 次方程的代数解法结合起来 相互为用 既发 现了知识应用的视角 又可以将相关 内容融为 一体 达到融会贯通的境界 二 卡莱尔的方法 苏格兰作 家卡莱尔 Th o ma sca rlyl e 1 7 95一1 8 8 1 在平面解析几何的基础上发展了 一元二次方程的几何解法 卡莱尔在年轻时做 过数学教师 卡莱尔的关于一元二次方程护 阮 c 0的解法是使用一个特殊的圆与x 轴 的交点 这个特殊的圆是以 0 l 和 一b c 为 直径的端点的圆 若方程有两个实数解 这个 圆与工轴就有两个交点 这两个交点的横坐标 救学教学 2005 年第 10 期 了O 一刃 6 就是方程的根 即 和勿是护 阮 O 的根图3用一个例子说明了这种方法 假如 方程只有一个实数解 则这个圆与 二 轴相切 切 点的横坐标为方程的解 假如方程无解 则这 个圆与 二轴无交 汽 声 z 4 八 一 面直角坐标系 作山从又 子 少又矿 少迩 结此两点的线段与以田 均为圆心的单位圆相 交于点R和5 将点 O 2 分别与点几和S连 结并延长 分别交 二轴于点 田和 哟 则 r 和 就是这个已知方程的根 事实上 用A表示点 O 2 L表示五5与 二 轴白勺交点 会 今 T表示与单位圆相切于八 的直线与线段RS的交点 程 今 可得下 方 卡莱尔的方法可以用圆护 尹十阮 一 1十 动 万十 己 来验证 令岁 二 O 我们发现圆与 二 轴交点的横坐标是由方程尸 阮 十 C 给 出的 这个横坐标就是已知方程的实根 图4是卡莱尔方法的应用 圆与 二 轴的交 点的横坐标一4和 2就是方程产十 Zx一8二O 的根 圆 万一 2 仪 直线 A几2二 万一2 0 直线 A SZx十 一2 认 则方程 Zx 十 万一2 2 十 夕 一2 4卜2 抓 一2 二O的图形经过点A 几和S 上述方程可化为 夕一2 2城 十 卜哪 一 2 一4夕 O 它表示一对直线习一 2 O和2拭 s 一2 一4万 0 由于点R和 S不在上述第一条直线上 因 此第二条直线一定是直线R S令万 O和万 J 任一 口 h 9 广和 利用直线RS的大程可得到 O L TS T 十 S AT 4 r S 因而 十 8 夕 程 护 一g留十 九 二几 因此 和 是方 一 十 约 x 十 r 一 我们在解析儿何的学习中 经常去求圆护 十沪十乙 一 1 十c 梦 十 c 二 与x 轴的交点的 坐标 但我们很少做过一个一元二次方程变化 为圆的方程 通过画圆的方法来求解出一元二 次为程的根 建议通过此法的学习 我们在讲 解平面解析儿何的相关问题时 不妨可以适当 地穿插一元二次方程的这种解法 以提高学生 学习数学的兴趣 三 斯陶特的方法 德国数学家斯陶特 K G CV o n t Sa ud t 17 98一18 67 曾在初等数学领域中取得过引人 注 目的成就 以 仿射几何学 而闻名于世 他 的一元二次方程几何解法如下 已知一元二次方程 尸 一g二十h 0 在平 r x 一 s 二O的根 图5是斯陶特方法的应用 由该方法可得 方程 4 劣2一 2二一8 O它的两根 一 一2和 2 f 工些企2 杯藉斗二 图 5 弓 o x 四 用抛物线y二苏 解 劣 十b二 c 二0 用平面解析几何解护 阮 C 0的一 般方法是 尸 十 先在平面直角坐标系中画出抛物线 阮 十 c 再确定抛物线与 二轴的交点 200 5年第10期救学教学 10一习7 此外 我们还可以应用标准抛物线 二护来解 上述方程 在同一坐标系中画出抛物线夕二护 和直线百二 一 x b 一 c 然后找出它们的交点 交 点的横坐标即为方程的根 图6给出的是方程尸 一二一6 O的解法 当然 假如抛物线与直线没有交点 则方程的 根为虚根 下文我们将说明求虚根的方法 夕 八 几 山 刀二工十 6 少 叮二 图 6 实际上 一元二次方程护 十阮 c O的 根也可以通过在同一坐标系中作出直线和标 准三次函数夕 护的图象而得到 方程 x 一 b x Z bx e x3 e 一bZ x一be o 的 根为b以及方程护 阮 C二 O的根 在图象 上 他们是曲线 二护和直线 十 一 乙 2 x 一 阮 二0的交点的横坐标 五 用等轴双曲线劣夸二 1解答一元二次 方程 19 08年美国数学家舒尔茨 A r h tu r Sh c u l t z出版的 图形代数 一书中介绍了使用等 轴双曲线 x y二1来解一元二次方程的方法 在方程 a 护 b x 十 C 0中 我们作代换 曲线 二万二 1和直线x 一6万 1交点的横坐标 即为方程 护 一二一6 O的根 方法四和五给我们的启示是 除了本身的 解法可谓是 数形结合 中的典范外 更重要的 是告诉了我们 要想使 数形结合 的方法成为 学生的一种思维习惯 就要在这些基础性问题 的解答中使用 让学生体味 思考和领悟 从 而提高学生的数学思维能力 同时 要让学生 在代数和几何的多种解法的熏陶中培养思维 的品质 感受数学知识的整体性及其价值 六 求解 a 二2 b二十c o的虚根 上文中给出了用抛物线夕 二护 和直线军 一阮一 来求方程护 十阮十 二O实根的方法 但当曲线夕 护和直线 一 x b 一 c 没有交点 时 方程有两个互为共扼的虚根 舒尔茨在书 介绍了求方程虚根的实部和虚部的几何方法 当判别式护一c 4 o时 方程护十阮十 c 二 一 b 1 瓜不了一 一二 o的两个虚根为 甘 土 二 羊厂 一 如图8 在抛 物线梦 护的下方 作出直线L 万 一毓一 c 作抛物线的弦AB平行于直线 L 过AB的 中点对 作 x 轴的垂线交直线L于N 交抛物线 于尸 段MN上取一点Q 使尸Q 尸N 过Q作一条平行于直线L的弦 交抛物线于S 和T 过Q和 T 作 x 轴的垂线 垂足为V和W V点的横坐标 即为方程根的实部 线段V评的 长度即为根的虚部 二 一 王 贝 有 二二 O或 a x c y 夕 一b 再考虑a x 二一阮 妥 C 人U一 夕 工一军 解方程组 得 a 护 十阮十 c 二0的根 事实上 xZ x 苍 则有 一认 设A和 B 的坐标为 x 1 心 和 丝二丝一 值线 的斜率 xZ x l XZ一X l 工2 十 工1 2 b 2 的中点 它的横坐标是 根的实部 工2 十 x l 2 由于M是AB 石 一丈 只 万程 匕 图7是方程护 一x一6二0的解法 等轴双 下面我们来确定点W或T的横坐标 由 10一刃 8 数学救学 20 05年第10期 一个 红灯与绿灯 的课题学习活动 3 1 3 1 叨 浙江省长兴古城中学 章新金 课题学习 指的是在教师的组织和指导下 将学生置于一种主动探究并注重解决问题的 学习状态 那么在新课程背景下的课题学习到 底如何开展 教师在课题学习中应扮演怎样的 角色 笔者以华东师大版八年级上册第十五章 频率与机会 作为知识背景 以学生在七年级 时曾进行过的课题学习作为经验 开展一次题 为 红灯与绿灯 的课题学习活动 现将全过程 呈现如下 1 结合学生身边事例 引发问题情境 针对我校特殊的地理位置 结合学校近期 开展的安全宣传活动 选择以堆城城西立交桥 北侧十字路口交通违章现象严重威胁师生的 生命安全为主题 提 出调查与分析 2 设计方案 组织准备 首先 组织学生讨论调查方案 于PQ 尸N 点Q的纵坐标为 c 因此 ST 的方程为 一 x 昌 将 一 一 和 一 联立 得到方程 二 2 b 十 一 答 一 应用一元二次方程的 匕 一b 了万 万二丽 水中民蓄八仔 x 二一土 匕艺 选择带有 十 的 得到T的横坐标 我们有 一b 了不 歹 丁丽 一b 丫即 l 一二 l一 l二 又 又 2 v 勺 泛 不丽 一下干 此即万程根的虚部 乙 图9给 出了方程护 一2二十5 O的解 法 点V 1 0 的横坐标是方程共扼虚根的实 部 V W 3一1 2为根 的虚部 于是所求根 为1士 2 1 上文我们介绍了一元二次方程的六种几何 解法 用这些几何的方法来求解一元二次方程 让人感到新鲜而有趣 从中可以看到知识的力 量和体味到一种数学的美感 这些几何的方法 看上去是那么的出乎意料 但仔细想来却又在 情理之中 当我们在匆匆忙忙地赶教学进度 教学生题型套路解法后 若要是能静下心来思 考一下所教的数学内容如何为前学内容服务时 逆 向思考 我们也许会发现一片新天地 这 样不仅增强 了所教内容的应用 还培养了学生 的创新意识和精神 参考文献 1 Eu elid T heE le7 n n艺S V o l 1 t r slated 场 T homa sL H e a tzl 2 1ed D over N ew Y rk 1956 2 H E x e s A o l tr od Ct乞O to th H乞 s to r o fM a the二a亡乞 es 5 h ed P h ilad e l Phia Sa unders 1983 3 J Ho rn s b y G eoni etrie ala ld g r aplli ea l solutio izso fq uadratieequatio l l s C o lleg 八了ath e爪a t乞 es J o urna l19 90 21 362 一 36 9 。