反常积分演示教学.ppt

二、无界函数的反常积分,,第四节,常义积分,,积分限有限,被积函数有界,推广,一、无穷限的反常积分,反常积分,(广义积分),,反常积分,第五章,一、无穷限的反常积分,引例.曲线,和直线,及x轴所围成的开口曲,边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,,定义1.设,若,存在,,则称此极限为f(x)的无穷限反常积分,,记作,这时称反常积分,收敛;,如果上述极限不存在,,就称反常积分,发散.,类似地,若,则定义,则定义,(c为任意取定的常数),只要有一个极限不存在,就称,发散.,无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.,并非不定型,,说明:上述定义中若出现,它表明该反常积分发散.,例1.计算反常积分,解:,思考:,分析:,原积分发散!,注意:对反常积分,只有在收敛的条件下才能使用,“偶倍奇零”的性质,,否则会出现错误.,例2.证明反常积分,证:当p=1时有,当p1时有,当p1时收敛;p1,时发散.,因此,当p1时,反常积分收敛,其值为,当p1时,反常积分发散.,例3.计算反常积分,解:,,,二、无界函数的反常积分,引例:曲线,所围成的,与x轴,y轴和直线,开口曲边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,,定义2.设,而在点a的右邻域内无界,,存在,,这时称反常积分,收敛;,如果上述极限不存在,,就称反常积分,发散.,类似地,若,而在b的左邻域内无界,,若极限,数f(x)在a,b上的反常积分,记作,则定义,则称此极限为函,若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类,说明:,而在点c的,无界函数的积分又称作第二类反常积分,,无界点常称,邻域内无界,,为瑕点(奇点).,例如,,间断点,,而不是反常积分.,则本质上是常义积分,,则定义,注意:若瑕点,的计算表达式:,则也有类似牛莱公式的,若b为瑕点,则,若a为瑕点,则,若a,b都为瑕点,则,则,,可相消吗?,下述解法是否正确:,,所以积分收敛.,,例4.计算反常积分,解:显然瑕点为a,所以,原式,例5.讨论反常积分,的收敛性.,解:,所以反常积分,发散.,例6.证明反常积分,证:当q=1时,,当q<1时收敛;q1,时发散.,当q1时,所以当q<1时,该广义积分收敛,其值为,当q1时,该广义积分发散.,例7.,解：,求,的无穷间断点,,故I为,反常积分.,,内容小结,1.反常积分,,积分区间无限,被积函数无界,,,常义积分的极限,2.两个重要的反常积分,,,说明:(1)有时通过换元,反常积分和常义积分可以互,相转化.,例如,,(2)当一题同时含两类反常积分时,,应划分积分区间,,分别讨论每一区间上的反常积分.,P2601;2;3,提示:P256题2,求其最大值.,作业,。