2025年中考数学 基础巩固投影与视图（讲义）（解析版）.docx

中考数学 投影与视图目 录中考数学一、考情分析二、知识建构考点一 图形的投影题型01 平行投影题型02 中心投影题型03 正投影考点二 几何体的三视图题型01 判断简单几何体三视图题型02 判断简单组合体三视图题型03 判断非实心几何体三视图题型04 画简单几何体的三视图题型05 画简单组合体的三视图题型06 由三视图还原几何体题型07 已知三视图求边长题型08 已知三视图求侧面积或表面积题型09 求小立方块堆砌图形的表面积题型10 已知三视图求体积题型11 求几何体视图的面积题型12 由三视图，判断小立方体的个数原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 30学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司考点要求新课标要求命题预测图形的投影Ø 通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念.Ø 会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体.Ø 了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作模型.Ø 通过实例，了解上述视图与展开图在现实生活中的应用.本单元内容以考查几何体的三视图和正方体的展开图为主，年年都会考查，是广大考生的得分点，分值为3分，预计2024年各地中考还将出现，并且在选择题出现的可能性较大，一般只考察基础应用，所以考生在复习时要多注重该考点的概念以及应用.几何体的三视图考点一 图形的投影投影的定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面 (地面、墙壁等) 上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.平行投影的概念：由平行光线形成的投影叫做平行投影.（例如：太阳光）平行投影的特征：1）等高的物体垂直地面放置时（图1），在太阳光下，它们的影子一样长.2）等长的物体平行于地面放置时（图2），它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.图1 图2【小技巧】1）图1中，两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似，相似三角形对应边成比例.2）已知物体影子可以确定光线，过已知物体顶端及影子顶端作直线，过其他物体顶端作此线的平行线，便可求出同一时刻其他物体的影子.（理由：同一时刻光线是平行的光线下行成的）3）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例，即：，利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如：旗杆/树/楼房的高度等.4）在不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影子长度由长变短再变长.中心投影的概念：由一点发出的光线形成的投影叫做中心投影.（例如：手电筒、路灯、台灯等）中心投影的特征：1）等高的物体垂直地面放置时（图3），在灯光下离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.2）等长的物体平行于地面放置时（图4），一般情况下离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.　　　　　　　　　　　图3 图4【小技巧】1）点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.2）如果一个平面图形所在的平面与投射面平行，那么中心投影后得到的图形与原图形也是平行的，并且中心投影后得到的图形与原图形相似.正投影的概念：当平行光线垂直投影面时叫正投影.正投影的分类：1）线段的正投影分为三种情况.如图所示.　　　　　　　　　　　　　①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等；、②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长；③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.2）平面图形正投影也分三种情况，如图所示.　　　　　　　　　　　　①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等；②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似.③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线.3）立体图形的正投影物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等.投影的判断方法：1）判断投影是否为平行投影的方法是看光线是否是平行的，如果光线是平行的，那么所得到的投影就是平行投影．2）判断投影是否为中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点的，那么所得到的投影就是中心投影．题型01 平行投影【例1】（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图是嘉淇在室外用拍下大树的影子随太阳转动情况的照片（上午8时至下午5时之间），这五张照片拍摄的时间先后顺序是（    ）A．①②③④⑤ B．②④①③⑤ C．⑤④①③② D．⑤③①④②【答案】B【分析】太阳的位置和高度决定了影子的方向和长短．一天中，阳光下物体的影子变化规律是上午影子由长逐渐变短；下午影子由短逐渐变长．方向由西逐渐转向东．【详解】解：一天中太阳位置的变化规律是：从东到西．太阳的高度变化规律是：低→高→低．影子位置的变化规律是：从西到东，影子的长短变化规律是：长→短→长．根据影子变化的特点，按时间顺序给这五张照片排序是②④①③⑤．故选：B．【点睛】本题主要考查了平行投影，了解物体在阳光下影子的变化规律是解答此题的关键．【变式1-1】（2021·河北保定·统考二模）三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理的是（    ） A． B． C． D．【答案】B【分析】三根等高的木杆竖直立在平地上，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子应该同方向、长度相等且平行，据此判断即可．【详解】解：A．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子的方向应该一致，故本选项错误；B．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理，故本选项正确；C．在某一时刻三根等高木杆在太阳光下的影子的长度应该相同，故本选项错误；D．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子的方向应该互相平行，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题主要考查了平行投影，由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．【变式1-2】（2023·吉林松原·统考二模）如图，小明想测量一棵大树AB的高度，他发现树的影子落在地面和墙上，测得地面上的影子BC的长为5m，墙上的影子CD的长为2m．同一时刻，一根长为1m垂直与地面标杆的影长为0.5m，则大树的高度AB为 m．【答案】12【分析】设地面影长对应的树高为xm，根据同时同地物高与影长成正比列出比例式求出x，然后加上墙上的影长CD即为树的高度．【详解】解：设地面影长对应的树高为xm，由题意得，x5=10.5，解得x=10，∵墙上的影子CD长为2m，∴树的高度为10+2=12m．故答案为：12．【点睛】本题考查利用投影求物高．熟练掌握同时同地物高与影长成正比是解题的关键．【变式1-3】（2022·浙江温州·统考模拟预测）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线MN的距离皆为100cm．王诗嬑观测到高度90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度i=1:0.75，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：（1）若王诗嬑的身高为150cm，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm？（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100cm，则高圆柱的高度为多少cm？【答案】（1）120cm；（2）正确；（3）280cm【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题．（2）根据落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面分析可得；（3）过点F作FG⊥CE于点G，设FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，过点F作FH⊥AB于点H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出AH的长度，即可得到AB.【详解】解：（1）设王诗嬑的影长为xcm，由题意可得：9072=150x，解得：x=120，经检验：x=120是分式方程的解，王诗嬑的的影子长为120cm；（2）正确，因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，∴高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；（3）如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子，过点F作FG⊥CE于点G，由题意可得：BC=100，CF=100，∵斜坡坡度i=1:0.75，∴DECE=FGCG=10.75=43，∴设FG=4m，CG=3m，在△CFG中，4m2+3m2=1002，解得：m=20，∴CG=60，FG=80，∴BG=BC+CG=160，过点F作FH⊥AB于点H，∵同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm，FG⊥BE，AB⊥BE，FH⊥AB，可知四边形HBGF为矩形，∴9072=AHHF=AHBG，∴AH=9072×BG=9072×160=200，∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280，故高圆柱的高度为280cm.【点睛】本题考查了解分式方程，解直角三角形，平行投影，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解实际物体与影长之间的关系解决问题，属于中考常考题型．题型02 中心投影【例2】（2021·安徽淮南·校联考模拟预测）下列现象中，属于中心投影的是（　　）A．白天旗杆的影子 B．阳光下广告牌的影子C．灯光下演员的影子 D．中午小明跑步的影子【答案】C【分析】根据平行投影和中心投影的定义对各选项进行判断．【详解】解：A．白天旗杆的影子为平行投影，所以A选项不合题意；B．阳光下广告牌的影子为平行投影，所以B选项不合题意；C．灯光下演员的影子为中心投影，所以C选项符合题意；D．中午小明跑步的影子为平行投影，所以D选项不合题意．故选：C．【点睛】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．也考查了平行投影．【变式2-1】（2022·北京·一模）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（    ）A．B． C．D．【答案】D【分析】因为中心投影物体的高和影长成比例，正确的区分中心投影和平行投影，依次分析选项即可找到符合题意的选项【详解】因为正方形的对角线互相垂直，且一条对角线垂直地面，光源与对角。