2025年中考数学 基础巩固四边形压轴题型探究四边形与反比例函数综合运用（解析版）.docx

中考数学 基础巩固四边形压轴综合探究四边形与反比例函数综合运用58．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，一次函数y=kx+b(k>0)的图像与反比例函数y=8x(x>0)的图像交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB=CD，点C关于直线AD的对称点为点E．(1)点E是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由；(2)连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．①求k、b的值；②若点P在y轴上，当|PE−PB|最大时，求点P的坐标．  【答案】(1)点E在这个反比例函数的图像上，理由见解析(2)①k=1，b=2；②点P的坐标为(0,−2)【分析】（1）设点A的坐标为(m,8m)，根据轴对称的性质得到AD⊥CE，AD平分CE，如图，连接CE交AD于H，得到CH=EH，再结合等腰三角形三线合一得到CH为ΔACD边AD上的中线，即AH=HD，求出H(m,4m)，进而求得E(2m,4m)，于是得到点E在这个反比例函数的图像上；（2）①根据正方形的性质得到AD=CE，AD垂直平分CE，求得CH=12AD，设点A的坐标为(m,8m)，得到m=2（负值舍去），求得A(2,4)，C(0,2)，把A(2,4)，C(0,2)代入y=kx+b得，解方程组即可得到结论；②延长ED交y轴于P，根据已知条件得到点B与点D关于y轴对称，求得|PE−PD|=|PE−PB|，则点P即为符合条件的点，求得直线DE的解析式为y=x−2，于是得到结论．【详解】（1）解：点E在这个反比例函数的图像上．理由如下：∵一次函数y=kx+b(k>0)的图像与反比例函数y=8x(x>0)的图像交于点A，∴设点A的坐标为(m,8m)，∵点C关于直线AD的对称点为点E，∴AD⊥CE，AD平分CE，连接CE交AD于H，如图所示：    ∴CH=EH，∵AD⊥x轴于D，∴CE∥x轴，∠ADB=90°，∴∠CDO+∠ADC=90°，∵CB=CD，∴∠CBO=∠CDO，在RtΔABD中，∠ABD+∠BAD=90°，∴∠CAD=∠CDA，∴CH为ΔACD边AD上的中线，即AH=HD，∴H(m,4m)，∴E(2m,4m)，∵2m×4m=8，∴点E在这个反比例函数的图像上；（2）解：①∵四边形ACDE为正方形，∴AD=CE，AD垂直平分CE，∴CH=12AD，设点A的坐标为(m,8m)，∴CH=m，AD=8m，∴m=12×8m，∴m=2（负值舍去），∴A(2,4)，C(0,2)，把A(2,4)，C(0,2)代入y=kx+b得{2k+b=4b=2，∴ {k=1b=2；②延长ED交y轴于P，如图所示：    ∵CB=CD，OC⊥BD，∴点B与点D关于y轴对称，∴|PE−PD|=|PE−PB|，则点P即为符合条件的点，由①知，A(2,4)，C(0,2)，∴D(2,0)，E(4,2)，设直线DE的解析式为y=ax+n，∴ {2a+n=04a+n=2，解得{a=1n=−2，∴直线DE的解析式为y=x−2，当x=0时，y=−2，即(0,−2)，故当|PE−PB|最大时，点P的坐标为(0,−2)．【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．。