2022全国各地中考数学压轴题汇编之1.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑2022全国各地中考数学压轴题汇编之1 1 2022全国各地中考数学压轴题汇编之一 11．（2022江苏淮安，28，14分）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y＝?x2?bx?c3的图像与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为（－3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A启程，段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O启程，段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之中断运动，设运动时间为t秒．连接PQ． （1）填空：b＝________，c＝________； （2）在点P、Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由； （3）在x轴下方，该二次函数的图像上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，苦求出运动时间t；若不存在，请说明理由； （4）如图②，点N的坐标为（?3，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线2NH的对称点Q′恰好落段BC上时，请直接写出点Q′的坐标． yCPAQyCPHByCOxANOQBxAOBx图① 图② 备用图 1【分析】（1）将A（－3，0）、B（4，0）代入y＝?x2?bx?c即可求解；（2）若△APQ为 3直角三角形，那么∠APQ＝90°（∠PAQ与∠PQA不成能为直角）．连接QC，那么AQ2－AP2＝QC2－PC2＝PQ2，据此列出关于t的方程求解，若t的值得志0≤t≤4，那么△APQ可能是直角三角形，否那么不成能；（3）①过点P作DE∥x轴，分别过点M、Q作MD⊥DE，QE⊥DE，垂足分别为D、E，构成“一线三直角”全等模型，用含t的式子表示点M的坐标；②将点M的坐标代入二次函数的表达式求解；（4）①分别求直线BC、直线NQ′的函数表达式；②解直线BC、NQ′的函数达式组成的方程组． 1【解析】（1）b＝，c＝4． 3（2）在点P、Q运动过程中，△APQ不成能是直角三角形．理由如下： 若△APQ是直角三角形，由于在点P、Q运动过程中，∠PAQ、∠PQA始终为锐角，所以∠ 2 APQ＝90°． ∴AQ2－AP2＝QC2－PC2＝PQ2． 连接QC． 11由（1）知抛物线的函数表达式为y＝?x2?x?4，当x＝0时，y＝4． 33∴C（0，4）． ∴OC＝4． ∵A（－3，0）， ∴OA＝3． 由题意，得AP＝OQ＝t． ∴AQ＝OA＋OQ＝3?t． 在Rt△AOC中，由勾股定理得AC＝OA2?OC2＝32?42＝5． ∴PC＝5?t． 在Rt△OCQ中，QC2＝OQ2＋OC2＝t2?42． ∵∠APQ＝90°， ∴AQ2－AP2＝QC2－PC2＝PQ2． ∴(3?t)2?t2＝t2?42?(5?t)2． 解得t＝4.5． 由题意知0≤t≤4． ∴t＝4.5不符合题意，舍去． ∴在点P、Q运动过程中，△APQ不成能是直角三角形． yCPAQOBx （3）如图，过点P作DE∥x轴，分别过点M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分别为点D、E，MD交x轴于点F，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，那么PG∥y轴，∠D＝∠E＝90°． ∴△APG∽△ACO． ∴ PGAGAPPGAGt＝＝，即＝＝． OCOAAC435 3 43∴PG＝t，AG＝t． 55324∴PE＝GQ＝GO＋OQ＝AO－AG＋OQ＝3?t?t＝3?t，DF＝EQ＝t． 555∵∠MPQ＝90°，∠D＝90°， ∴∠DMP＋∠DPM＝∠EPQ＋∠DPM＝90°． ∴∠DMP＝∠EPQ． 又∵∠D＝∠E，PM＝PQ， ∴△MDP≌△PEQ． 42∴PD＝EQ＝t，MD＝PE＝3?t． 55242∴AM＝MD－DF＝3?t?t＝3?t， 555431OF＝FG＋GO＝PD＋OA－AG＝t?3?t＝3?t． 55512∴M（?3?t，?3?t）． 55∵点M在x轴下方的抛物线上， 21111∴?3?t＝?(?3?t)2?(?3?t)?4． 53535解得t＝?65?5205． 2∵0≤t≤4， ∴t＝?65?5205． 2yCDFPEAMGOQBx （4）Q′（ 622，）． 77提示：连接OP，取OP中点R，连接RH、NR，延长NR交线段BC于点Q′． ∵点H为PQ的中点，点R为OP的中点， 4 ∴RH＝ 11OQ＝t，RH∥OQ． 223，0）， 2∵A（－3，0）、N（?∴点N为OA的中点． 又∵点R为OP的中点， ∴NR＝ 11AP＝t，RN∥AC． 22∴RH＝NR． ∴∠RNH＝∠RHN． ∵RH∥OQ， ∴∠RHN＝∠HNO． ∴∠RNH＝∠HNO，即NH是∠QNQ′的平分线． 设直线AC的函数表达式为y＝mx?n，把A（－3，0）、C（0，4）代入，得 ?0??3m?n， ?4?n．?解得m＝ 4，n＝4． 34∴直线AC的函数表达式为y＝x?4． 3同理可求，直线BC的函数表达式为y＝?x?4． 43设直线NR的函数表达式为y＝x?s，把N（?，0）代入，得 23430＝?(?)?s． 32解得s＝2． 4∴直线NR的函数表达式为y＝x?2． 36?4x?，???y?x?2，?7解方程组?得? 322?y?．??y??x?4?7?∴Q′（ 622，）． 77 5 yCQ?PRAHQNOBx 2．(2022江苏南京，27，11分)折纸的斟酌． 【操作体验】 用一张矩形纸片折等边三角形． 第一步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（图①），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图②）． 其次步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到△PBC． （1）说明△PBC是等边三角形． 【数学斟酌】 （2）如图④．小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC．他察觉，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形．请描述图形变化的过程． （3）已知矩形一边长为3cm，另一边长为acm．对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形．请画出不可怜形的示意图，并写出对应的a的取值范围． — 6 —。