2025版高考数学复习：复数（新高考卷）解析版.pdf

专题0 2 复数考情概览命题解读考向考查统计高考对复数的考查，重点是复数的运算、概念、复数的模、复数的几何意义等，难度较低.共机复数、复数的除法运算2022新高考I卷，22023新高考I卷，22024新高考I卷,2复数的乘法运算2022新高考n 卷，2复数的几何意义2023新高考n 卷,1复数的模2024新高考II卷，1 2024年真题研析命题分析2024年高考新高考I卷考查复数的运算，但是需要一些运算技巧，否则有些计算量II卷考查复数的模的计算，属于基础考查复数考查应关注：（1）复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.（2）复数的四则运算预计2025年高考还是主要考查复数的概念、复数的运算、复数的代数表示法及其几何意义、复数的模试题精讲21.（2024新高考I卷-2）若=l+i,贝!J z=（）z-1A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1 +i【答案】c【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.【详解】因 为 告=l+=l+i,所以z=l+=l-i.z-1 z-1 z-1 1故选：C.2.（2024新高考II卷-1）已知z=-l-i,贝卜（）A.0 B.1 C.V2 D.2【答案】C【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.详解若z=T-i,则目=J（一 1）2+（_ 咪=0.故选：C.近年真题精选1.（2022新高考I卷-2）若i（l-z）=l,贝”+彳=（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】D【分析】利用复数的除法可求z,从而可求z+T.【详解】由题设有l-z -=3 =-i,故z=l+i,故z+三=（l+i）+（l-i）=2,1 1故选：D1-i _2.（2023新高考I卷 2）已知2=,贝 I？三=（）2+21A.-i B.i C.0 D.1【答案】A【分析】根据复数的除法运算求出z,再由共辗复数的概念得到乙 从而解出.【详解】因为二二1-i,二编篇二-2彳i 一1,.所以-=,1，即Z 4 =T.故选：A.3.（2022 新高考II卷2）（2+2i）（l-2 i）=（）A.-2+4i B.-2-4 i C.6+2i D.6-2i【答案】D【分析】利用复数的乘法可求（2+2i）（l-2 i）.【详解】（2+2i）（l-2 i）=2+4-4i+2i=6-2 i,故选：D.4.（2023新高考II卷-1）在复平面内，（l+3i）（3-i）对应的点位于（）.A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.【详解】因为（1+3讥 3 7）=3+。

琛=6+8i,则所求复数对应的点为（6,8）,位于第一象限.故选：A.必备知识速记一、复数的概念(1)1 叫虚数单位，满足=一1,当左e Z时，严=1,产+1 =7-，泮+2 =-1,严+3 =.(2)形如a +瓦(a,b e R)的数叫复数，记作a+初e C.复数z =+b i(a,b e尺)与复平面上的点Z(a,6)一对应，.叫z 的实部,6叫z 的虚部；6 =0 =z e R,Z点组成实轴；方片0/叫虚数；6/0 且 a=0,z 叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴(不包括原点).两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共辗复数.两个复数a +c +由(a 也 c,de R)相等,(两复数对应同一点)b-d复数的模：复数+4(氏6 出的模，也就是向量了彳的模，即有向线段彳的长度，其计算公式为|z ga+初|=J a?+廿,显然，|z=a-b i+Z?2,z-z=a2+Z?2.二、复数的加、减、乘、除的运算法则1、复数运算(1)(a+bi)(c+di)=(a c)+(b d)i(2)(a+bi)-(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i(a+bi)(a-bi)=z z=a2+b2=|z V(注意Z?=|z )z +z =2 a其中|2|=片+廿,叫z的模；3=a-从 是 z =a +历的共辗复数(a,6 e R).(3)a+bi _(a+bi)(c-di)_(ac+bd)+(be-ad)i 2 +屋 力 0)c+di(c+di)(c-di)c2+d2实数的全部运算律(加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数塞运算法则)都适用于复数.注意：复数加、减法的几何意义以复数百且分别对应的向量函，砺为邻边作平行四边形O Z Z Z。

对角线o z表示的向量就是复数Z 1+Z 2所对应的向量.Z -z 2对应的向量是4 4 .2,复数的几何意义(1)复数z=a+bi(a,b e R)对应平面内的点z(a,Z );(2)复数z =a +6i(a,b e R)对应平面向量O z ;（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.（4）复数z=a+bi（a,be R）的模|z|表示复平面内的点z（a,b）到原点的距离.三、实系数一元二次方程1、实系数一元二次方程办2+区+0伍,仇氏4/0）中的八=624四为根的判别式，那么一b+J -4a c（1）0 O 方程有两个不相等的实根、_;A =0 o方程有两个相等的实根-2.A 0 o方程有两个共辗虚根求解复数集上的方程的方法：设 z =x +yi（x,je R）化归为实数方程来解决.把 z看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形.对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式.2、实系数一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）（1）当 =/0 时，方程的两个实根满足韦达定理 ,（2）当A =一40 时，方程的两个共轨虚数根西、与，则再+%=再+再=2 Re再=一I i 2 （by f y/ac-b2 cxx2=x1 x=|x j =2a +2a综上所述，无 论 方 程 的 判 别 式4Q C的符号如何，韦达定理都成立，于是韦达定理能被推广到复数根的情况，即实系数一元二次方程。

/+及+火 且 QW0）的两个根与系数满足关系一、单选题1.（2024 安徽芜湖三模）已知复数z 满足z =l,且三是复数z 的共朝复数，贝建的 值 是（）1A.V5B.3C.5D.9【答案】C【分析】先化简复数2,再 求 出 最 后 得 解.【详解】-.=2+1,1:.z=2-i,.zN=（2+i）（2-i）=5.故 选:C2.（2024北京三模）已知复数l+i=R,则 在复平面上对应的点位于（）ZA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【分析】根据条件，利用复数的运算法则及共甄复数的定义得到z=即可求出结果.【详、*心解、】由 41 +1 =i 2,/得日至笈|z =i=2=（2+i）（l-i-）=-1-+3-1.,z 1+1 2 2 21 3 1 3所以2=-5 一字，其对应点为（-,一 5），故选：c.3.（2024河南 三模）已知关于x 的方程/+2 +3=0 的一个根为x=a+6i（a,6 eR）,则/十+二()A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【分析】解复数范围内方程可得及的值即可得解.【详解】由，+2x+3 0 可得）二 2也2一12 一 土 瓜2故。

二-1,b2=（iV 2j=2,即a?+/+=1 +2-1=2.故选：C.4.（2024河南三模）已知i 为虚数单位，=（）（1-iXA.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i【答案】D【分析】根据复数乘法、除法运算化简即可.【详解】(1+i)3(1+i)2(1+i)2i(l+i)(1-i)2=-2i-2i故 选:D5.(2024山东德州三模)已知复数z 满 足:z-i(2+z)=0,则2=)A.-1-iB.-1+iC.1 +iD.1-i【答案】B【分析】由已知可得z=/L,计算即可.【详解】由z-i(2+z)=0,可得(1-由=2i,所以z=2i=加+D-_ +1-i(l-i)(l+i)故选：B.6.(2024 重庆三模)已知a/eR,(a+i)i=6-2i(i 为虚数单位)，则复数z=a+b i的共辗复数为()A.-2+i B.2-i C.l+2i D.l-2 i【答案】A【分析】先利用复数相等求出力，再由共转复数概念即可求解.【详解】因为(a+i)i=ai+i?=1 +ai=Z 7 -2 i,所以Q =_2,b=_1,z =a+b i=-2-i,所以复数z=+b i的共甄复数为三=2+i，故选：A.7.(2024河南郑州三模)复数z=+bi(,b R 且 a w O),若(l+2 i)I为纯虚数，则()A.a=-2b B.a=2b C.2a=b D.2a=-b【答案】A【分析】求出0+2 i R,根据(l+2i)7 为纯虚数即可求解.详解(l+2i)z=(l+2i)(a-历)=a+26+(2a-6)i,因为(l+2i)彳为纯虚数，所以a+2b=0,2a-bw 0,所以。

2 6.故选：A.8.(2024四川遂宁三模)若复数z=(其中a e R,i 为虚数单位)为纯虚数，则复数z-l 在复平面内3-1对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【分析】利用复数的除法求出z,结合已知求出值即可得解.【详解】依题意,a+i _(a+i)(3+i)3 a-l(a+3)iT J-(3-i)(3+i)-10+103（2 1=0 1 1由Z为纯虚数，得 2八，解得=不 复数Z-1=-1+小，0 3 3所以复数Z-1在复平面内对应的点（-1,；）位于第二象限.故选：B9.（2024江苏南通三模）已知z 为复数，则z=7 是 z 2=/”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充 要 条 件 D.非充分非必要条件【答案】A【分析】正向可得z e R,则正向成立，反向利用待定系数法计算即可得0 或6=0,则必要性不成立.【详解】若 z=Z，贝！J z e R,则z 2=r,故充分性成立；若 2 2=/,设 z=a+b i,a,b R,贝!）z?=/+2历 一/,j2=a2-2abi-b2,则2ab=0,=0 或b=0,.z 与亍不一定相等，则必要性不成立，则“z 4”是”=广 的充分非必要条件，故选：A10.（2024山东潍坊三模）设复数z=sind+；+2i是纯虚数，则。

的值可以为（）兀c 5兀 2023兀 一 2025KA.-B.C.-D.-4 4 4 4【答案】c【分析】根据题意得到sine+=o,将四个选项代入检验，得到答案.【详解】由题意得s in +：=0,A 选项，当夕=2 时,sin住+父=1,不合题意，A 错误；4（4 4）B 选项，当6=当 时，sin俘+：=-!,不合要求，B 错误；4 I 4 4JC 选项，当一202一371时2，.（2023T C 无、.,n 必 十士sm-+-=sm5067r=0,故 C 正确；4 I 4 4JD 选项，当6=型 号 时，sin 空 管+力=1,D 错误.4 4 4J故选：C7 711.（2024黑龙江三模）若不一=i,则z（彳-1）的虚部为（）1-1A.-1 B.1 C.3 D.-3【答案】A【分析】先利用乘法运算法则化简复数z,然后化简z（7-l）得 3-i,即可求出其虚部.7 7【详解】因 为 吉=i,所以z=-2+l-i i=-l+i,所以,1-1所以z传-l）=（_l+i）（-2-i）=3-i,贝！|z e-l）的虚部为_1.故选：A12.（2024贵州毕节三模）若复数z 满足（1 +，+力 2=312。

24-雷，则|z|=（）A.1 B.5 C.7 D.25【答案】B【分析】由复数的乘法和除法运算化简即可求出z=-4-3 i,再由复数的模长公式求解即可.【详解】因为（l+i2+i，2=3i224-4i,贝！|（l-l +i）N=3-4 i,gn _ 3-4 i（3-4 i）i 3i-4i2_3i+4_即 z=-=-；-=-=-=4 319i i2-1-1故忖=J（-4）2+（-3）2=5.故选：B.二、多选题13.（2024湖北荆州三模）已知复。