备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题34等差数列问题探究.doc

1专题专题 3434 等差数列问题探究等差数列问题探究【【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】】等差数列的性质、通项公式和前 n 项和公式构成等差数列的重要内容，在历届高考中必考，既有独立考查的情况，也有与等比数列等其它知识内容综合考查的情况．选择题、填空题、解答题多种题型加以考查．1、定义：数列 na若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称 na是等差数列，这个常数称为 na的公差，通常用d表示2、等差数列的通项公式：11naand，此通项公式存在以下几种变形：（1）nmaanm d，其中mn：已知数列中的某项ma和公差即可求出通项公式（2）nmaadnm：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差（3）11naand：已知首项，末项，公差即可计算出项数3、等差中项：如果, ,a b c成等差数列，则b称为, a c的等差中项 （1）等差中项的性质：若b为, a c的等差中项，则有cbba即2bac（2）如果 na为等差数列，则2,nnN ，na均为11,nnaa的等差中项（3）如果 na为等差数列，则mnpqaaaamnpq注：①一般情况下，等式左右所参与项的个数可以是多个，但要求两边参与项的个数相等.比如mnpqs，则mnpqsaaaaa不一定成立② 利用这个性质可利用序数和与项数的特点求出某项.例如：478920aaaa，可得478977777420aaaaaaaaa，即可得到75a ，这种做法可称为“多项合一”4、等差数列通项公式与函数的关系：111naandd nad，所以该通项公式可看作na关于n的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质.例如：0d ， na递增；0d ， na递减.5、等差数列前n项和公式：1 2n naaSn，此公式可有以下变形：（1）由mnpqmnpqaaaa可得：12pq naaSn pqn，作用：在求等差数列2前n项和时，不一定必须已知1,na a，只需已知序数和为1n 的两项即可（2）由通项公式11naand可得：11 11122naandn nSna nd作用：① 这个公式也是计算等差数列前n项和的主流公式② 2 1111222nn ndSa ndnad n，即nS是关于项数n的二次函数nN，且不含常数项，可记为2 nSAnBn的形式.从而可将nS的变化规律图像化.（3）当21nkkN时，121 21212k kaaSk  因为1212kkaaa 2121kkSka 而ka是21kS的中间项，所以此公式体现了奇数项和与中间项的联系当2nk kN时12 2122k kkkaaSkk aa，即偶数项和与中间两项和的联系6、等差数列前n项和的最值问题：此类问题可从两个角度分析，一个角度是从数列中项的符号分析，另一个角度是从前n项和公式入手分析（1）从项的特点看最值产生的条件，以 4 个等差数列为例： :1,3,5,7,9,11,na  :7,5,3,1, 1, 3,nb   : 1, 3, 5, 7, 9,nc    : 9, 7, 5, 3, 1,1nd通过观察可得： na为递增数列，且10a ，所以所有的项均为正数，前n项和只有最小值，即1a，同理 nc中的项均为负数，所以前n项和只有最大值，即1c.而 nb虽然是递减数列，但因为10b ，所以直到51b  ，从而前 4 项和最大，同理， nd的前 5 项和最小.由此可发现规律：对于等差数列，当首项与公差异号时，前n项和的最值会出现在项的符号分界处.（2）从2 nSAnBn的角度：通过配方可得2224nBBSA nAA，要注意nN，则可通过图像判断出nS的最值7、由等差数列生成的新等差数列3（1）在等差数列 na中，等间距的抽出一些项所组成的新数列依然为等差数列例如在 :1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,na，以 3 为间隔抽出的项1,9,17,25,仍为等差数列.如何判定等间距：序数成等差数列，则项之间等间距（2）已知等差数列 1212221223:,,,,,,,,,,,,nkkkkkkkaa aa aaaaaa，设12kkSaaa，21223221223,,kkkkkkkkkkSSaaaSSaaa，则相邻k项和232,,,kkkkkS SS SS成等差数列（3）已知  ,nnab为等差数列，则有：① naC为等差数列，其中C为常数② nka为等差数列，其中k为常数③ nnab为等差数列 ①②③可归纳为nnabm也为等差数列8、等差数列的判定：设数列na，其前n项和为nS（1）定义（递推公式）：1nnaad（2）通项公式：naknm（关于n的一次函数或常值函数）（3）前n项和公式：2 nSAnBn注：若2 nSAnBnC，则 na从第二项开始呈现等差关系（4）对于nN ，122nnnaaa，即从第二项开始，每一项都是相邻两项的等差中项【【经典例题经典例题】】例 1.【2017 课标 1，理 4】记nS为等差数列{}na的前n项和．若4524aa，648S ，则{}na的公差为（ ）A．1B．2C．4D．8【答案】C【解析】设公差为d，445111342724aaadadad，6116 56615482Sadad，联立112724,61548adad 解得4d ，故选 C.秒杀解析：因为16 6346()3()482aaSaa，即3416aa，则4534()()24 168aaaa，即5328aad，解得4d ，故选 C.【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}na为等差数列，若mnpq，则mnpqaaaa.例 2. 【2017 课标 II，理 15】等差数列 na的前n项和为nS，33a ，410S ，则11nkkS.【答案】2 1n n【解析】【名师点睛】等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a1和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实5质上造成正负相消是此法的根源与目的.例 3.【2018 届福建省莆田市第二次检测】设等差数列的前 项和为，若，，则取最大值时 的值为（ ）A. 6 B. 7 C. 8 D. 13【答案】B点睛：该题考查的是有关等差数列的前 项和最大值的问题，在求解的过程中，需要明确其前 项和取最大值的条件，之后就是应用题的条件，确定其相关项的符号，从而求得结果.例 4.【2018 届浙江省模拟测试】在等差数列 na中，若981a a ，且它的前n项和nS有最小值，则当0nS 时， n的最小值为（ ）A. 14 B. 15 C. 16 D. 17【答案】C【解析】分析：根据题设条件，利用等差数列的性质推导出811520aaa， 891160aaaa，由此能求出0nS 时， n的最小值．详解：∵数列 na是等差数列，它的前n项和nS有最小值∴公差0d ，首项10a ，  na为递增数列 ∵981a a ∴890aa， 890aa 由等差数列的性质知： 811520aaa， 891160aaaa.∵1 2n naanS6∴当0nS 时， n的最小值为 16．故选 C.例 5.【2018 届华大新高考联盟 4 月检测】已知等差数列的前 项和为，若是一个与 无关的常数，则该常数构成的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先根据等差数列的前 项和公式计算出与，进而表达，再结合题中的条件以及分式故选 C.点睛：解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的前 项和公式，以及熟练掌握分式的性质．例 6.【2018 届东北师大附中四模】 《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有 5 个人分 60 个橘子，他们分得的橘子数成公差为 3 的等差数列，问 5 人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是（ ）A. 15 B. 16 C. 18 D. 21【答案】C【解析】分析：首先根据题意，先确定其为一个等差数列的问题，已知公差、项数与和，求某项的问题，在求解的过程中，经分析，先确定首项，之后根据其和建立等量关系式，最后再利用通项公式求得第五项，从而求得结果.7详解：设第一个人分到的橘子个数为，由题意得，解得，则，故选 C.点睛：该题所考查的是有关等差数列的有关问题，在求解的过程中，注意分析题的条件，已知的量为公差、项数与和、而对于等差数列中，这五个量是知三求二的，所以应用相应的公式求得对应的量即可.例 7． 【2018 届山西省孝义市一模】设等差数列的公差为 ，前 项和为，记，则数列的前 项和是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析: 由等差数列的求和公式可得首项，tanantanan+1=﹣1=﹣1，运用裂项相消求和，结合两角和差的正切公式，即可得到所求和．= （tana8﹣tana7）﹣7= （tan﹣tan）﹣78= （tan﹣tan）﹣7= （tan（）﹣tan（） ）﹣7= （）﹣7= ．故选 C．点睛:解答本题的关键是化简,求和首先要看通项的特征, tanantanan+1=﹣1=﹣1，化简到这里之后,就可以再利用裂项相消求和了.化简时要注意观察已知条件，看到要联想到差角的正切公式，再化简.例 8.【2018 届齐鲁名校教科研协作体 山东、湖北部分重点中学高考冲刺模拟试卷（三） 】已知等差数列的前 项和为，且，则（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】D点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.例 9.【2018 届福建省三明市 5 月测试】已知正项数列的前 n 项和为，，且．9（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，，求数列的前 项和．【答案】 （1）；（2）【解析】分析：（1）由与的关系，求出数列的通项公式；（2）由，利用累加法得到，从而＝，利用裂项相消法求和即可.详解：（1）因为，且，所以，所以． 所以 …①，当时，有 …②，①、②两式作差得， 所以＝＝，所以＝＝，＝．10点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，。