小学4年级全册数学知识点汇总第2讲：图形计数（教师版）.docx

第二讲 图形计数 几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法－一枚举法．具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、．无一遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．一：简单图形计数的方法二：复杂图形计数的方法和找规律的方法例（1） 数出右图中总共有多少个角 分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：4＋3＋2＋1＝10（个）　　解： 4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个角。

　　例（2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？ 分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：　　（3+2+1）5+（4+3+2+1）3=30+30=60（条）.　　②要数有多少个三角形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形个数总共：　　（4+3+2+1）3=103=30（个）　解：：①在△ABC中共有线段是：　　（3+2+1）5+（4+3+2+1）3=30+30=60（条）　　 ②在△ABC中共有三角形是：　　（4+3+2+1）3=103=30（个）答： 在△ABC中共有线段60条，共有三角形30个例（3）数一数图中长方形的个数分析：AB边上分成的线段有：5+4+3+2+1=15.　　BC边上分成的线段有： 3+2+1=6.解： 共有长方形：　　（5+4+3+2+1）（3+2+1）= 156 = 90（个）　 答：共有长方形90个。

　　例（4）数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）.　分析：为叙述方便，我们规定最小正方形的边长为1个长度单位，又称为基本线段，图中共有五类正方形.　　①以一条基本线段为边的正方形个数共有：　　 65=30（个）.　　②以二条基本线段为边的正方形个数共有：　　 54=20（个）.　　③以三条基本线段为边的正方形个数共有：　　 43=12（个）.　　④以四条基本线段为边的正方形个数共有：　　 32=6（个）.　　⑤以五条基本线段为边的正方形个数共有：　　 21=2（个）.解： 正方形总数为：　　 65+54+43+32+21　　=30+20+12+6+2=70（个）例（5）数一数图中三角形的个数 分析：这样的图形只能分类数，可以采用类似数正方形的方法，从边长为一条基本线段的最小三角形开始.　　Ⅰ.以一条基本线段为边的三角形：　　①尖朝上的三角形共有四层，它们的总数为：　　W①上=1+2+3+4=10（个）.　　②尖朝下的三角形共有三层，它们的总数为：　　W①下=1+2+3=6（个）.　　Ⅱ.以两条基本线段为边的三角形：　　①尖朝上的三角形共有三层，它们的总数为：　　W②上=1+2+3=6（个）.　　②尖朝下的三角形只有一个，记为W②下=1（个）.　　Ⅲ.以三条基本线段为边的三角形：　　①尖朝上的三角形共有二层，它们的总数为：　　W③上=1+2=3（个）.　　②尖朝下的三角形零个，记为W③下=0（个）.　　Ⅳ.以四条基本线段为边的三角形，只有一个，记为：　　W④上=1（个）.解：所以三角形的总数是10+6+6+1+3+1=27（个）.答：三角形的总数是个。

例（6）数一数图中一共有多少个三角形？分析：分析这是个对称图形，我们可按如下三步顺序来数：　　第一步：大矩形ABCD可分为四个相同的小矩形：AEOH、EBFO、OFCG、HOGD，每个小矩形内所包含的三角形个数是相同的.　　第二步：每两个小矩形组合成的图形共有四个，如：ABFH、EBCG、HFCD、AEGD，每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的.　　第三步：每三个小矩形占据的部分图形共有四个：如△ABD、△ADC、△ABC、△DBC，每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的.　　最后把每一步中每个图形所包含三角形个数求出相加再乘以4就是整个图形中所包含的三角形的个数.解：：Ⅰ.在小矩形AEOH中：　　①由一个三角形构成的有8个.　　②由两个三角形构成的三角形有5个.　　③由三个或三个以上三角形构成的三角形有5个.　　这样在一个小矩形内有17个三角形.　　Ⅱ.在由两个小矩形组合成的图形中，如矩形AEGD，共有5个三角形.　　Ⅲ.由三个小矩形占据的部分图形中，如△ABC，共有2个三角形.　　所以整个图形共有三角形个数是：　　（8+5+5+5+2）=254=100（个）答： 图中一共有100个三角形。

A一、填空题:1.右图一共有( )个长方形?答案： 一共有321个. 解: ①上横大长方形内有长方形: (8+7+6+5+4+3+2+1)(1+2)=108(个); ②下横大长方形内有长方形: (762)(322)=63(个); ③竖大长方形内有长方形: (542)(762)=210(个); ④中间重复的长方形共有: (542)(322)2=60(个). ⑤图中共有长方形: 108+63+210-60=321(个).2.右图一共有( )个长方形?答案： 一共有64个.3.右图一共有( )个长方形？答案： 一共有107个. 解: (1+2+3+4)(1+2+3)=60(个);(1+2+3)(1+2+3)=36(个);1+2=3(个); (1+2)4+2=14(个); 图中共有长方形: 60+36-3+14=107(个).4.右图一共有( )个正方形？答案： 一共有18个. 解:分三类计算,边长是1的正方形有2+4=13(个),边长为2的正方形有4(个),边长为3 的正方形有1个. 因此,图中共有正方形13+4+1=18(个).5.右图一共有( )个长方形？答案：一共有79个. 解: 在大长方形中共有长方形:(3+2+1)(3+2+1)=36(个).在小长方形中共有长方形: (3+2+1)(3+2+1)=36(个).在两个长方形中增加的长方形有:8(个).在大长方形和小长方形中重复计算了的长方形个数为1个.所以,这个图中长方形的个数为:36+36+8-1=79(个).6.右图一共有( )个平行四边形?答案：右图一共有(150)个平行四边形. (542)(652)=150(个). 点金术:与算平行四边形的方法一样.7.右图一共有( )个梯形？答案： 一共有(90)个. (652)(432)=90(个).8.右图一共有( )个正方形？答案： 一共有(55)个. 解:分类进行统计,得 边长为1的正方形有55=25(个); 边长为2的正方形有44=16(个); 边长为3的正方形有33=9(个); 边长为4的正方形有22=4(个); 边长为5的正方形有11=1(个).图中共有正方形: 25+16+9+4+1=55(个).9.右图一共有( )个正方形?答案：一共有60个. 解:分类进行统计,得 边长为1的正方形有47=28(个); 边长为2的正方形有36=18(个); 边长为3的正方形有25=10(个); 边长为4的正方形有14=4(个).图中共有正方形: 47+36+25+14=60(个).10.右图一共有( )个正方形?答案：右图一共有(110)个正方形. 解: 图中是一个410方格,其中正方形的个数是: 410+39+28+17=90(个); 图中是一个46方格,其中正方形的个数是:46+35+24+13=50(个);在上面的两项统计中,内的正方形被重复计算了一次,应该扣除.因是44方格,其中正方形的个数是:44+33+22+11=30(个). 所以,图中正方形的个数是: 90+50-30=110(个).二、解答题: 11.下图共有几个正方形?答案：一共有95个. 解: ①中间部分的正方形有:52+42+32+22+12=55(个); ②上、下部分的正方形有: (4+2+1)2=14(个); ③左、右部分的正方形有: (9+2+2)2=26(个). 共有正方形: 55+14+26=95(个). 12.下图共有几个正方形?答案：共有46个. 解: ①正摆着的正方形有: 43+32+21=20(个); ②斜摆着的正方形有:.最小的正方形有17个;.由4个小正方形组成的正方形有8个,.由9个小正方形组成的正方形有1个. ③图中共有正方形: 20+17+8+1=46(个).13. 在一个图案中有100个矩形、100个菱形和40个正方形,这个图案中至少有多少个平行四边形?答案：至少有160个. 解: 因为矩形、菱形、正方形都是平行四边形,且正方形既是矩形也是菱形,所以,至少有平行四边形: 100+100-40=160(个).14.三个同样的正方形框架,摆放在适当的位置,最多可以数出多少个正方形来?答案：最多有7个. 解: 最多有7个正方形.摆法如右图.。