基本不等式求最值的策略.doc

例谈用基本不等式求最值的四大策略摘要基本不等式（当且仅当时等号成立）是高中必修五《不等式》一章的重要内容之一，也是高考常考的重要知识点从本质上看，基本不等式反映了两个正数和与积之间的不等关系，所以在求取积的最值、和的最值当中，基本不等式将会焕发出强大的生命力，它将会是解决最值问题的强有力工具本文将结合几个实例谈谈运用基本不等式求最值的三大策略关键字：基本不等式 求和与积的最值 策略 一、 基本不等式的基础知识[1]基本不等式：如果，则，当且仅当时等号成立在基本不等式的应用中，我们需要注意以下三点：“一正”：、b是正数，这是利用基本不等式求最值的前提条件二定”：当两正数的和是定值时，积有最大值；当两正数的积是定值时，和有最小值三相等”： 是的充要条件，所以多次使用基本不等式时，要注意等号成立的条件是否一致二、 利用基本不等式求最值的四大策略策略一 利用配凑法，构造可用基本不等式求最值的结构通过简单的配凑（凑系数或凑项）后，使原本与基本不等式结构不一致的式子，变为结构一致，再利用均值不等式求解最值题型一 配凑系数例1 设，求函数的最大值分析：因为不是个定值，所以本题无法直接运用基本不等式求解。

但凑系数将4拆为后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求其最大值解：因为 ，所以 故当且仅当即时等号成立.所以原式的最大值为.题型二 配凑项1 配凑常数项例2 已知，求函数的最大值[2]分析：因，所以首先要“调整”符号另外，又不是常数，所以对要进行拆、凑项解：因为，所以 所以 所以当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，y取最大值1.2 配凑一般项例3 （2010年高考四川文科卷第11题）设，则的最小值是（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4分析：如果要利用基本不等式来求和的最小值，就必须出现积的定值考虑到， 即，所以配凑这两项解：因为，所以，，故而，，所以故w＝＝≥2＋2＝4当且仅当ab＝1，a(a－b)＝1时等号成立，如取a＝,b＝，式子取得最小值4.故选择答案D策略二 遇到分式，可尝试分离后再用基本不等式题型一：配凑分子，分离分式对于分子次数比分母高的分式不等式，可尝试先对分子进行配凑，使之出现与分母相同的项，然后分离得到可用基本不等式求解的结构例4 求的最小值[2]分析：可先将分子配凑出含有的项，再将其分离。

解：因为，所以所以当且仅当所以的最小值为2.题型二：同除分子，分离分母对于分母次数比分子高的分式不等式，可尝试上下同除以分子，使分母出现互倒的结构，再用基本不等式求最值例5 求的值域.分析：题目没有交代的取值范围，此题需要分类讨论解：当时，分子分母同除以,则（1） 当，所以, 当且仅当（2） 当，故，当且仅当当，=0综上可知，y的取值范围是策略三 遇到根式，可尝试平方后再用基本不等式例6 求函数的最大值.分析：观察式子的结构，可以看到，所以将式子平方后，便可构造出可用基本不等式的结构解：将两边平方，得又因为y>0，所以当且仅当2，即所以y的最大值是.策略四 利用1的性质，合理代换后再用基本不等式“1”是一个特殊的数，任何式子乘以1，式子仍不变所以如果题目条件给出某个式子的值为1，则可在要求最值的式子上乘以这个式子，从而构造出可用基本不等式的形式例7 设，且，求的最小值.分析：由于，所以=，故可用基本不等式求最值.解：由于，所以=又由于，故所以=，当且仅当所以，原式的最小值为2.总结以上四种策略，是用基本不等式解决最值问题的常用方法无论是配凑系数与项、分离分子与分母、平方去根号，还是利用“1”整体代换，其目的只有一个，那就是构造出和为定值或者是积为定值的两项，然后才可用基本不等式。

构造可用基本不等式的结构，是解决此类最值问题的根本所在参考文献[1]人民教育出版社 普通高中课程标准实验教科书 数学必修5A版 2004.5第一版 第五章[2] 童其林;毛金才;应用基本不等式求最值的八种变换技巧[J];新高考(语文数学英语);2010年02期[3]段军长;均值不等式的应用[J];数理化解题研究；2012年第5期。