2.2.2 2.2.2 椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 复习：复习：1.椭圆的定义:到两定点到两定点F1、、F2的距离之和为常数（大于的距离之和为常数（大于|F1F2 |））的的动点的轨迹叫做椭圆动点的轨迹叫做椭圆2.椭圆的标准方程是：3.椭圆中a,b,c的关系是:a2=b2+c2当焦点在当焦点在X轴上时轴上时当焦点在当焦点在Y轴上时轴上时 椭圆的椭圆的几何性质几何性质1.范围范围：：由由即即 -a≤x≤a, -b≤y≤b说明：椭圆落在说明：椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中组成的矩形中 oyB2B1A1A2F1F2cabx 1.1.范范 围围: : F2F1Oxy椭圆关于y轴对称 F2F1Oxy椭圆关于x轴对称 A2A1A2F2F1Oxy椭圆关于原点对称 2、、椭圆的对称性椭圆的对称性YXOP（（x，，y））P1（（-x，，y））P3（（-x，，-y））结论结论:椭圆关于椭圆关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称椭圆上任意一点P(x,y)关于y轴的对称点是同理椭圆关于x轴对称 关于原点原点对称即 在椭圆上,则椭圆 关于y轴对称(-x, y) 3、椭圆的顶点、椭圆的顶点令令 x=0，，得得 y=？，？，说明椭圆与说明椭圆与 y轴的交点？轴的交点？令令 y=0，，得得 x=？？说明椭圆与说明椭圆与 x轴的交点？轴的交点？*顶点：椭圆与它的对称轴顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的的四个交点，叫做椭圆的顶点。
顶点长轴、短轴：线段长轴、短轴：线段A1A2、、B1B2分别叫做椭圆的长轴分别叫做椭圆的长轴和短轴a、、b分别叫做椭圆的长半分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长轴长和短半轴长 oyB2B1A1A2F1F2cab(0,b)(a，，0)(0,-b)(-a，，0) 椭圆几何性质的应用椭圆几何性质的应用(1)椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定了椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征，离心率决定了椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点；若已顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点；若已知椭圆的标准方程，则根据知椭圆的标准方程，则根据a、、b的值可确定其性质．的值可确定其性质．(2)明确明确a，，b的几何意义，的几何意义，a是长半轴长，是长半轴长，b是短半轴长是短半轴长，，不要与长轴长、短轴长混淆，由不要与长轴长、短轴长混淆，由c2＝＝a2－－b2，可得，可得“已知椭已知椭圆的四个顶点，求焦点圆的四个顶点，求焦点”的几何作图法，只要以短轴的端的几何作图法，只要以短轴的端点点B1(或或B2)为圆心，以为圆心，以a为半径作弧交长轴于两点，这两为半径作弧交长轴于两点，这两点就是焦点．点就是焦点．名师点睛名师点睛1．． 思考思考:已知椭圆的长轴已知椭圆的长轴A A1 1A A2 2和短轴和短轴B B1 1B B2 2 ，，怎样确定椭圆焦点的位置？怎样确定椭圆焦点的位置？ oB2B1A1A2F1F2aaccb因为因为a2=b2+c2,所以以椭圆短轴端点为所以以椭圆短轴端点为圆心圆心,a长为半径的圆与长为半径的圆与x轴的交点即为轴的交点即为椭圆焦点椭圆焦点. ４、离心率４、离心率长半轴为 a半焦距为 c思考：保持长半轴 a 不变，改变椭圆的半焦距 c ，我们可以发现，c 越接近 a ，椭圆越________这样，我们就可以利用＿＿和＿＿这两个量来刻画椭圆的扁平程度 扁平扁平ca 椭圆的离心率椭圆的离心率因为 a >c>0,所以 e 的取值范围是:_________0ba>ba2=b2+c2 标准方程标准方程范围范围对称性对称性顶点坐标顶点坐标焦点坐标焦点坐标半轴长半轴长离心率离心率a a、、b b、、c c的关系的关系|x|≤ a,|y|≤ b关于关于x x 轴、轴、y y 轴成轴对称；轴成轴对称；关于原点成中心对称关于原点成中心对称(a,0)、、(-a,0)、、(0,b)、、(0,-b)(c,0)、、(-c,0)长半轴长为长半轴长为a a, ,短短半轴长为半轴长为b. b. a>ba>ba2=b2+c2|x|≤ b,|y|≤ a同前同前(b,0)、、(-b,0)、、(0,a)、、(0,-a)(0 , c)、、(0, -c)同前同前同前同前同前同前 椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质自学导引自学导引焦点的位置焦点的位置焦点在焦点在x x轴轴上上焦点在焦点在y轴轴上上图图形形标标准方程准方程______________________________________________________________________________(a＞＞b＞＞0)(a＞＞b＞＞0) 焦点的位置焦点的位置焦点在焦点在x x轴轴上上焦点在焦点在y轴轴上上范范围围________________________________________________________________________________________顶顶点点________________________________________________________________________________________________________________________________________________________轴长轴长短短轴长轴长＝＝___，，长轴长长轴长＝＝___焦点焦点____________________________________________________________________________焦距焦距|F1F2|＝＝___对对称性称性对对称称轴轴_________，，对对称中心称中心______离心率离心率e＝＝_________－－a≤≤x≤≤a且－且－b≤≤y≤≤b－－b≤≤x≤≤b且－且－a≤≤y≤≤aA1(－－a，，0)、、A2(a，，0)B1(0，－，－b)、、B2(0，，b)A1(0，－，－a)、、A2(0，，a)B1(－－b，，0)、、B2(b，，0)2b2aF1(－－c，，0)、、F2(c，，0)F1(0，－，－c)、、F2(0，，c)2cx轴轴和和y轴轴(0，，0) 例例1 1、、 求椭圆求椭圆 16 x16 x2 2 + 25y+ 25y2 2 =400 =400的长轴和短轴的长、的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标离心率、焦点和顶点坐标解：把已知方程化成标准方程解：把已知方程化成标准方程这里，这里，因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是离心率离心率焦点坐标分别是焦点坐标分别是四个顶点坐标是四个顶点坐标是解题的关键：解题的关键：1、将椭圆方程转化为标准方程、将椭圆方程转化为标准方程 2、确定焦点的位置和长轴的位置、确定焦点的位置和长轴的位置 椭圆第二定义:xy..FF ’O.M 自学导引自学导引 直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系种类种类:相离相离(没有交点没有交点)相切相切(一个交点一个交点)相交相交(二个交点二个交点)相离相离(没有交点没有交点)相切相切(一个交点一个交点)相交相交(二个交点二个交点) 直线与椭圆的位置关系的判定直线与椭圆的位置关系的判定mx2+nx+p=0（（m≠ 0））Ax+By+C=0由由方程组：方程组：<0方程组无解方程组无解相离相离无交点无交点=0方程组有一解方程组有一解相切相切一个交点一个交点>0相交相交方程组有两解方程组有两解两个两个交点交点代数方法代数方法= n2-4mp 所以消所以消y得一个一元二次方程得一个一元二次方程位置关系位置关系解的个数解的个数Δ的取的取值值相交相交___解解Δ___0相切相切___解解Δ___0相离相离___解解Δ___0两两一一无无>＝＝<自学导引自学导引 lmm思考：最大距离为多少？思考：最大距离为多少？ 名师点睛名师点睛 利用利用设设而不解的方法求解直而不解的方法求解直线线与与椭圆椭圆相交位置关系中相交位置关系中的中点、弦的中点、弦长长等等问题问题是本是本节节特特别别常常见见的方程思想方法．的方程思想方法． 方法技巧 函数方程思想在椭圆中的应用方法技巧 函数方程思想在椭圆中的应用【【示示例例】】[ [思路分析思路分析] ] 求弦求弦AB的长，需确定点的长，需确定点A、、B的坐标，点的坐标，点A、、B是是直线与椭圆的交点，因此由直线方程和椭圆方程组成方程组，直线与椭圆的交点，因此由直线方程和椭圆方程组成方程组，解方程组，依据根与系数的关系和弦长公式可求解．解方程组，依据根与系数的关系和弦长公式可求解． 。
