同济大学高等数学大纲.doc

同济大学高等数学大纲《高等数学A》课程教学纲领(216学时，12学分)一、课程的性质、目的和任务高等数学A是理科(非数学)本科个专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量特意人才服务的通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、向量代数与空间解析几何；4、多元函数微积分学；5、无穷级数(包括傅立叶级数)；6、微分方程等方面的基本观点、基本理论和基本运算技术，为学习后继课程和进一步获取数学知识确立必要的数学基础在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去剖析问题和解决问题的能力二、总学时与学分本课程的安排三学期授课，分为高等数学A(一)、(二)、(三)，总学时为90+72+54，学分为5+4+3三、课程教学基本要求及基本内容说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“认识”、“会”等词表述高等数学A(一)一、函数、极限、连续、1. 理解函数的观点及函数奇偶性、单一性、周期性、有界性。

2. 理解复合函数和反函数的观点3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形4. 会成立简单实际问题中的函数关系式5. 理解极限的观点，掌握极限四则运算法例及换元法例6. 理解子数列的观点，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系7. 理解极限存在的夹逼准则，认识实数域的完备性(确界原理、单界有界数列必有极限的原理，柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、致密性定理)会用两个重要极限求极限8. 理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的观点会用等价无穷小求极限9. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的观点，认识中断点的观点，并会鉴别中断点的种类10. 认识初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性)二、一元函数微分学1. 理解导数和微分的观点，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系会用导数描述一些物理量2. 掌握导数的四则运算法例和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式认识微分的四则运算法例和一阶微分形式不变性3. 认识高阶导数的观点4. 掌握初等函数一阶、二阶导数的求法5. 会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数会求反函数的导数。

6. 理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理7. 会用洛必达(L’Hospital)法则求不定式的极限8. 理解函数的极值观点，掌握用导数判断函数的单一性和求极值的方法会求解较简单的最大值和最小值的应用问题9. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描述函数的图形(包括水平和铅直渐进线)10. 认识有向弧与弧微分的观点认识曲率和曲率半径的观点并会计算曲率和曲率半径11. 认识求方程近似解的二分法和切线法三、一元函数积分学1. 理解原函数与不定积分的观点及性质，掌握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分2. 理解定积分的观点及性质，认识函数可积的充分必要条件3. 理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导，掌握牛顿(Newton)莱布尼兹(Leibniz)公式4. 掌握定积分的换元法和分步积分法5. 认识广义积分的观点及广义积分的换元法和分步积分法认识广义积分的比较审敛法和极限审敛法，认识广义积分的绝对收敛与条件收敛的观点6. 认识函数及其主要性质7. 认识定积分的近似计算法(矩形法、梯形法、抛物线法)。

8. 掌握用定积分表达一些几何量与物理量(如面积、体积、弧长、功、引力等)的方法高等数学A(二)四、向量代数与空间解析几何1. 会计算二阶、三阶队列式2. 理解空间直角坐标系3. 理解向量的观点及其表示，掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混淆积)，掌握两个向量垂直、平行的条件4. 掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法5. 掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决相关问题6. 理解曲面方程的观点，认识常用二次曲面的方程及其图形，认识以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程7. 认识空间曲线的参数方程和一般方程8. 认识曲面的交线在坐标平面上的投影五、多元函数微分学1. 理解多元函数的观点2. 认识二元函数的极限与连续性的观点，以及有界闭地区上连续函数的性质3. 理解偏导数和全微分的观点，认识全微分存在的必要条件和充分条件，认识一阶全微分形式的不变性4. 认识方向导数与梯度的观点及其计算方法5. 掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数6. 会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。

7. 认识曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求它们的方程8. 理解多元函数极值与条件极值的观点，会求多元函数的极值认识求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题认识最小二乘法9. 认识二元函数的泰勒公式10. 认识向量函数与矢端曲线的观点，认识向量函数的导向量与微分的观点六、多元函数积分学1. 理解二重积分、三重积分的观点及性质2. 掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，认识三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)认识重积分的换元法3. 理解两类曲线积分的观点、性质及相互间关系，掌握两类曲线积分的计算方法4. 掌握格林(Green)公式及平面曲线积分与路径无关的条件5. 理解两类曲面积分的观点、性质及相互间的关系，会计算两类曲面积分6. 掌握高斯公式，认识曲面积分与曲面形状无关的条件7. 了解斯托克斯(Stokes)公式8.认识数量场、向量场及向量微分算子的观点，认识散度、旋度的观点及其计算公式，认识无源场、无旋场及调解场的观点9. 会用重积分和曲线积分以及曲面积分求一些几何量与物理量(如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功、通量等)。

高等数学A(三)七、无穷级数1. 理解无穷级数收敛、发散以及和函数的观点，熟悉无穷级数基本性质及收敛的必要条件2. 掌握几何级数和p--级数的收敛性3. 认识正项级数的比较审敛法和极限审敛法，掌握正项级数的比值审敛法4. 认识交错级数的莱布尼兹定理，会估计交错级数的截断误差5. 认识无穷级数绝对收敛与条件收敛的观点以及绝对收敛与收敛的关系认识绝对收敛级数的一些基本性质6. 理解函数项级数的收敛域及和函数的观点认识函数项级数的一 直收敛性7. 掌握比较简单的幂级数收敛域的求法8. 认识幂级数在其收敛区间内的基本性质9. 认识函数展开为泰勒级数的充分必要条件10.会利用和的马克劳林(Maclaurin)展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数11. 认识幂级数在近似计算上的简单应用12.认识函数展开为傅里叶(Fourier)级数的狄利克雷(Dirichlet)条件，会将定义在和上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在上的函数展开为正弦或余弦级数八、常微分方程1. 认识微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等观点2. 掌握变量可分别的方程及一阶线性方程的解法会解齐次方程和伯努利(Bernoulli)方程，认识用变量代换求解方程的思想。

3. 会解全微分方程，能察看出最简单的积分因子4. 会用降阶法解下列方程：，和.5. 认识一阶微分方程解的存在性与唯一性定理及求近似解的步骤认识奇解的观点6. 理解线性微分方程解的构造，认识常数变易法7. 掌握常系数齐次线性方程的解法，会求自由项形如和的常系数非齐次线性方程的特解8. 了解常系数线性方程组及尤拉(Euler)方程的解法9. 了解幂级数解法及勒让德(Legendre)函数10. 会用微分方程解一些简单的几何问题和物理问题四 、学时分派序号内容学时安排理论课时实验或习题课时小计1函数、极限、连续226282一元函数微分学2410343一元函数积分学2812404向量代数与空间解几144185多元函数微分学166226多元函数积分学3510457无穷级数166228常微分方程23629总计17860238五、教材与教学参照书教材：《高等数学》(第五版)上、下册，同济大学应用数学系主编，高等教育出版社参照书：1.《微积分》上、下册，同济大学应用数学系编，高等教育出版社2.《工科数学剖析基础》上、下册，马知恩王绵森主编，高等教育出版社3. 《数学剖析》上、下册，复旦大学陈传璋等编，高等教育出版社4. 《高等数学释疑解难》工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社5. 《高等数学例题与习题》同济大学高等数学教研室编，同济大学出版社《高等数学B》课程教学纲领(180学时，10学分)一、课程的性质、目的和任务高等数学B是工科本科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量特意人才服务的。

通过本课程的学习，要使学生获得：1.函数与极限；2.一元函数微积分学；3.向量代数和空间解析几何；4.多元函数微积分学；5.无穷级数(包括傅立叶级数)；6.常微分方程等方面的基本观点、基本理论和基本运算技术，为学习后继课程和进一步获取数学知识确立必要的数学基础在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去剖析问题和解决问题的能力二、总学时与学分本课程安排分为高等数学B(一)、B(二)两学期授课，总学时为90+90，学分为5+5三、课程教学的基本要求及基本内容说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“认。