高中数学人教A版选修4-1课件：2-2圆内接四边形的性质与判定定理.pptx

1- 二 圆内接四边形的性质与判定定理 首页 课前篇 自主预习 1.圆内接四边形 (1)如果多边形的所有顶点都在一个圆上,那么这个多边形叫做 圆内接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆. (2)如果四边形的所有顶点都在一个圆上,那么这个四边形叫做 圆内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆. 名师点拨任意三角形都有外接圆,任意正方形、矩形都有外接 圆,但并不是所有四边形都有外接圆. 课前篇 自主预习 2.圆内接四边形的性质定理 (1)性质定理1:圆的内接四边形的对角互补. 如图,若四边形ABCD内接于圆O,则∠A+∠C=180°, ∠B+∠D=180°. 该定理的作用是证明两个角互补. (2)性质定理2:圆内接四边形的外角等于它的内角的对角. 如图,若四边形ABCD内接于圆O,E为AB延长线上一点,则 ∠CBE=∠ADC. 该定理的作用是证明两个角相等. 课前篇 自主预习 名师点拨1.圆内接四边形的性质定理为证明角的相等或互补提 供了理论依据,因而也为论证角边关系提供了一种新方法. 2.注意几个常用结论: (1)内接于圆的平行四边形是矩形; (2)内接于圆的菱形是正方形; (3)内接于圆的梯形是等腰梯形. 课前篇 自主预习 【做一做1】 如图,四边形ABCD内接于圆O.若∠A=2∠C,则∠C= ;若∠ADC=85°,则∠ABE= . 解析:因为四边形ABCD是圆内接四边形, 所以∠A+∠C=180°.又∠A=2∠C,所以∠C=60°. 又因为∠ADC=∠ABE,∠ADC=85°, 所以∠ABE=85°. 答案:60° 85° 课前篇 自主预习 3.圆内接四边形的判定定理 (1)判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四 个顶点共圆. 如图,在四边形ABCD中,若∠A+∠C=180°(或∠B+∠D=180°),则 A,B,C,D四点共圆. 该定理的作用是证明四点共圆. 课前篇 自主预习 (2)推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个 四边形的四个顶点共圆. 如图,在四边形ABCD中,延长AB到E,若∠CBE=∠ADC,则A,B,C,D 四点共圆. 该推论的作用是证明四点共圆. 课前篇 自主预习 名师点拨判断或证明四点共圆的常用方法: (1)如果四个点与一定点的距离相等,那么这四个点共圆; (2)如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形的四个顶点 共圆; (3)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角,那么这个四边形 的四个顶点共圆; (4)如果两个三角形有公共边,公共边所对的角相等,且在公共边 的同侧,那么这两个三角形的四个顶点共圆. 课前篇 自主预习 【做一做2】 如图,四边形ABCD的边AB的延长线上有一点E,且 BC=BE,∠D=80°,∠E=50°.求证:A,B,C,D四点共圆. 证明:∵BC=BE,∴∠E=∠BCE. ∴∠EBC=180°-2∠E=80°, ∴∠EBC=∠D. ∴A,B,C,D四点共圆. 课前篇 自主预习 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画 “×”. (1)任意矩形都有唯一的外接圆. ( ) (2)菱形一定有外接圆. ( ) (3)任意正多边形都有外接圆. ( ) (4)圆内接梯形一定是等腰梯形. ( ) 答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)√ 课堂篇 合作学习 探究一探究二规范解答当堂检测 圆内接四边形性质定理的应用 【例1】 (1)如图,已知☉O的内接四边形ABCD,AB和DC的延长线 交于点P,AD和BC的延长线交于点Q.若∠A=50°,∠P=30°,求∠Q的 度数. (2)如图,在☉O中,AC=AB,E是弦BC延长线上的一点,AE交☉O于 点D.求证:AC2=AD·AE. 课堂篇 合作学习 探究一探究二规范解答当堂检测 分析:(1)先利用圆内接四边形的性质求得∠CDQ和∠DCQ的度 数,再利用三角形的内角和定理求得∠Q的度数;(2)可先考虑证明 △ADC∽△ACE,得到比例式后,再转化为欲证等积式. (1)解:∵四边形ABCD是☉O的内接四边形, ∴∠QCD=∠A=50°.又∠P=30°,∴∠CDQ=∠P+∠A=80°, 故∠Q=180°-80°-50°=50°. (2)证明:如图,连接DC, ∵AC=AB,∴∠ACB=∠B. 又四边形ABCD内接于☉O, ∴∠EDC=∠B, ∴∠ACB=∠EDC,∴∠ADC=∠ACE. ∵∠EAC=∠CAD,∴△ADC∽△ACE, 课堂篇 合作学习 探究一探究二规范解答当堂检测 反思感悟1.因为圆内接四边形的性质主要涉及有关角的关系,所 以在圆内求角的大小以及证明角之间的相等关系时,要发现和构造 圆内接四边形,利用两个性质定理进行求解和证明. 2.在圆内证明等积式时,由于比例式是等积式的一种特殊形式,因 此可转化为比例式,只需找到包含所证线段的两个三角形来证明. 而要证三角形相似,可借助圆内接四边形的性质定理,得出对应的 角相等. 课堂篇 合作学习 探究一探究二规范解答当堂检测 变式训练1如图,☉O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点 P,E为☉O上一点,AE=AC.求证:∠PDE=∠POC. 证明:连接BE,BC.∵AE=AC,AB为直径, ∴在Rt△ABE和Rt△ABC中, ∠ABE=∠ABC,∠AEB=∠ACB,AE=AC. ∴Rt△ABE≌Rt△ABC,∴∠OAE=∠OAC. 又∠OAC=∠OCA,∴∠OCA=∠OAE, ∴∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAE=∠EAC. 又四边形ACDE内接于☉O, ∴∠EAC=∠PDE,∴∠PDE=∠POC. 课堂篇 合作学习 探究一探究二规范解答当堂检测 圆内接四边形判定定理的应用 【例2】如图,在△ABC中,AD=DB,DF⊥AB交AC于点 F,AE=EC,EG⊥AC交AB于点G.求证: (1)D,E,F,G四点共圆; (2)G,B,C,F四点共圆. 分析:(1)连接GF,则易证△GDF与△GEF均为直角三角形,由直角 三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等可得出结论. (2)连接DE,由条件易证DE∥BC,从而∠ADE=∠B,由(1)知 ∠ADE=∠GFE,从而∠GFE=∠B,从而得到结论. 课堂篇 合作学习 探究一探究二规范解答当堂检测 证明:(1)连接GF.由DF⊥AB,EG⊥AC,知∠GDF=∠GEF=90°, ∴GF的中点到D,E,F,G四点的距离相等,∴D,E,F,G四点共圆. (2)连接DE.由AD=DB, AE=EC,知DE∥BC,∴∠ADE=∠B. 又由(1)中D,E,F,G四点共圆, ∴∠ADE=∠GFE,∴∠GFE=∠B, ∴G,B,C,F四点共圆. 课堂篇 合作学习 探究一探究二规范解答当堂检测 反思感悟判定四点共圆的方法 1.如果四个点与一定点距离相等,那么这四个点共圆; 2.如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形的四个顶点 共圆; 3.如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四 边形的四个顶点共圆; 4.与线段两个端点连线的夹角相等(或互补)的点连同该线段两个 端点在内共圆. 课堂篇 合作学习 探究一探究二规范解答当堂检测 变式训练2如图,已知四边形ABCD为平行四边形,过点A和点B的圆 与AD,BC分别交于E,F.求证:C,D,E,F四点共圆. 证明:连接EF.因为四边形ABCD为平行四边形, 所以∠B+∠C=180°. 因为四边形ABFE内接于圆, 所以∠B+∠AEF=180°. 所以∠AEF=∠C,故C,D,E,F四点共圆. 课堂篇 合作学习 探究一探究二规范解答当堂检测 圆内接四边形性质定理和判定定理的综合应用 【典例】 如图,A,B,C,D四点在同一圆上,AD的延长线与BC的延 长线交于E点,且EC=ED. (1)求证:CD∥AB; (2)延长CD到F,延长DC到G,使得EF=EG,证明A,B,G,F四点共圆. 【审题策略】利用圆内接四边形的性质与判定定理证明. 课堂篇 合作学习 探究一探究二规范解答当堂检测 【规范展示】证明:(1)因为EC=ED,所以∠EDC=∠ECD. 因为A,B,C,D四点在同一圆上, 所以∠EDC=∠EBA,故∠ECD=∠EBA.所以CD∥AB. (2)由(1)知,AE=BE.因为EF=EG, 所以∠EFD=∠EGC,从而∠FED=∠GEC. 连接AF,BG,则△EFA≌△EGB, 故∠FAE=∠GBE. 由(1)得CD∥AB,所以∠FAB=∠GBA, 所以∠AFG+∠GBA=180°, 故A,B,G,F四点共圆. 课堂篇 合作学习 探究一探究二规范解答当堂检测 【答题模板】(1)第1步:证△EDC两底角相等; 第2步:利用圆内接四边形的性质定理得两角相等; 第3步:利用同位角相等证得结论. (2)第1步:证明两角相等; 第2步:证明两三角形全等; 第3步:由圆内接四边形的判定定理证得结论. 失误警示通过阅卷统计分析,造成失分的原因是: (1)不能利用等腰三角形的性质得出两底角相等; (2)不能正确利用圆内接四边形的性质得出角的相等关系; (3)无法正确利用圆内接四边形的判定定理证明四点共圆. 课堂篇 合作学习 探究一探究二规范解答当堂检测 变式训练已知CF是△ABC的AB边上的高,FP⊥BC于点P,FQ⊥AC于 点Q.求证:A,B,P,Q四点共圆. 证明:连接PQ,在四边形QFPC中,因为PF⊥BC,FQ⊥AC, 所以∠FQA=∠FPC=90°. 所以Q,F,P,C四点共圆. 所以∠QFC=∠QPC. 又因为CF⊥AB,所以∠QFC与∠QFA互余. 而∠A与∠QFA也互余,所以∠A=∠QFC. 所以∠A=∠QPC.故A,B,P,Q四点共圆. 课堂篇 合作学习 探究一探究二规范解答当堂检测 1.已知四边形ABCD是圆内接四边形,则下列结论正确的有( ) ①若∠A=∠C,则∠A=90°;②若∠A=∠B,则四边形ABCD是等腰梯 形;③∠A的补角与∠C的补角互补;④∠A∶∠B∶∠C∶∠D的比可以 是1∶2∶3∶4. A.1个B.2个 C.3个D.4个 答案:B 2.圆内接平行四边形一定是( ) A.正方形B.菱形 C.等腰梯形D.矩形 解析:因为圆内接四边形的对角互补,平行四边形的对角相等,所以 圆内接平行四边形的各角均为直角,故为矩形. 答案:D 课堂篇 合作学习 探究一探究二规范解答当堂检测 3.如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形,E为AB延长线上一点, ∠CBE=40°,则∠AOC等于( ) A.20°B.40° C.80°D.100° 解析:因为∠CBE=40°,所以∠ADC=40°, 于是∠AOC=2∠ADC=80°. 答案:C 4.若BE和CF分别是△ABC的边AC和AB边上的高,则 四 点共圆. 解析:由∠BEC=∠BFC=90°,可得△BCE和△BCF共圆,从而B,C,E,F 四点共圆. 答案:B,C,E,F 课堂篇 合作学习 探究一探究二规范解答当堂检测 5.如图,AD是△ABC外角∠EAC的平分线,AD与△ABC的外接圆☉O 交于点D.求证:DB=DC. 证明:∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线, 又∠EAD=∠BCD,∠CAD=∠CBD, ∴∠DBC=∠DCB. ∴DC=BD. 。