自考高等数学公式.doc

1高等数学公式大全1.1.导数公式：导数公式：2 211()ln (log) (tan )seclncosxx aaaaxxxxax222211(arcsin ) (arctan ) arctan arcsin1111dxdxxxx CxCxxxx2.2.两个重要极限：两个重要极限： 0sin1lim1 lim(1)2.7......xxxxexx3. 倍角公式：倍角公式：; ; ; ;22cos2cossin21 cos2sin221 cos2cos24.4.空间解析几何和向量代数：空间解析几何和向量代数：222 122121212()()()dM Mxxyyzz空间点的距离：222222cos,Prjcos , cos,,uxxyyzzxxyyzzxyzxyzABABABua baba ba ba ba ba ba baaabbb uuu ruuu ruuu rvvvv向量在轴上的投影：是与轴的夹角。

是一个数量两向量之间的夹角：xyzxyzijk cabaaabbbvvv5.00000001()()()0{ , , },(,,)A xxB yyC zznA B CMxyzv平面的方程：. 点法式：，其中00022220 31xyzAxByCzDabc AxByCzDd ABC . 一般方程：. 截距式方程：平面外任意一点到该平面的距离：6., 三点式0 000 00,{ , , }; xxmtxxyyzzsm n pyyntmnpzzpt v空间直线的方程：其中参数方程：7.2222222211 2,,22xyzxyzp qabcpq二次曲面：、椭球面：、抛物面：（同号）22222222222231 1xyzxyz abcabc、双曲面：单叶双曲面：双叶双曲面：（马鞍面）8.8.多元函数微分法及应用多元函数微分法及应用zzdzdxdyxy全微分：9. ( , )0( , , )0yxxyzzFFFdyzzF x yF x y zdxFxFyF   隐函数的求导：，则； ，则， 10.10.微分法在几何上的应用：微分法在几何上的应用：（（1 1））000 000 000( )( )( )(,,)( )( )( )xxyyzzxt yt ztM xyzttt空间曲线;;在点处的切线方程：000000( )()( )()( )()0Mtxxtyytzz在点处的法平面方程：（（2））000( , , )0(,,)F x y zM xyz曲面上一点，则：000000000000000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0(,,)(,,)(,,)xyzxyzF xyzxxF xyzyyF xyzzzxxyyzz F xyzF xyzF xyz过此点的切平面方程：过此点的法线方程：11.11.方向导数与梯度：方向导数与梯度：( , )( , )cossinfffzf x yp x yllxy（1）函数在一点沿任一方向的方向导数为：2( , )( , )grad ( , )ffzf x yp x yf x yijxyvv（2）函数在一点的梯度：12.12.多元函数的极值：多元函数的极值：0000000000(,)(,)0(,),(,),(,)xyxxxyyyfxyfxyfxyA fxyB fxyC设，令00200220, (,)?00, (,)?0 0,Af xyACBAf xyACBACB 为极大值则：时，为极小值时，无极值;时不确定.13.13.重积分及其应用：重积分及其应用：( , )( cos , sin )DDf x y dxdyf rrr drd 22 ( , )1Dzzzf x yAdxdyxy曲面的面积: 14.14.柱面坐标和球面坐标：柱面坐标和球面坐标：2( , , )( cos , sin , ),( , , )( sincos , sin sin , cos )sinf x y z dxdydzf rrzr drd dzf x y z dxdydzf rrrrdrd d  柱面坐标：球面坐标：15.15.曲线积分：曲线积分：222( ),(),( , )[ ( ),( )]( )( )()( )( ),(),( , )[ , ( )] 1( )()LLxtLtf x y dsftttt dtytLyy xxf x y dsf x y xyx dx (1)第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：曲线为： 则： 曲线为： 则： ( ))( , )( , ){ [ ( ),( )] ( )[ ( ),( )]( )}( )( ))( , )( , ){ [ , ( )][ , ( )] ( )}LLxtLtP x y dxQ x y dyPtttQtttdtytLyy xxP x y dxQ x y dyP x y xQ x y x y x dx(2)第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：曲线为，( :则：曲线为，( :则：1() 2DLDLQPdxdyPdxQdyDAdxdyxdyydxxyÑÑ（3）格林公式：的面积：+-QP xy （4）平面上曲线积分与路径无关的条件：＝。

注意正向边界方向！！“ 逆，顺” 00( , )00 (,)( , )( , )( , )( , )( , )( , )0x yxyQPP x y dxQ x y dyu x yxyu x yP x y dxQ x y dyxy（5）二元函数的全微分求积：当＝时，才是的全微分，其中：，通常设16.16.曲面积分：曲面积分：22( , ),( , , )[ , , ( , )] 1xyxy Dzz x yf x y z dsf x y z x yzz dxdy（1）对面积的曲面积分：曲面则( , , )( , , )( , , )P x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy（2）对坐标的曲面积分：，其中：( , ),( , , )[ , , ( , )]xyDzz x yR x y z dxdyR x y z x y dxdy 曲面则，取曲面的上侧时取正号；3( , ),( , , )[ ( , ), , ]( , ),( , , )[ , ( , ), ]yzzxDDxx y zP x y z dydzP x y zy z dydzyy x zQ x y z dzdxQ x y z x z dzdx  曲面则，取曲面的前侧时取正号；曲面则，取曲面的右侧时取正号。

3））高斯公式：高斯公式： 注意侧向！注意侧向！()PQRdvPdydzQdzdxRdxdyxyz Ò17.17.常数项级数：常数项级数：211(1)1;12312n nqnnqnq LL等比数列：等差数列：21111123nnLL调和级数：+是发散的; 级数：收敛； 2( 1)( 1)1 1nnppnnnpｐ１时发散而条件收敛； 绝对收敛； 级数： 时收敛18.18.级数审敛法：级数审敛法：121; lim0){}nnnnnnn nsuuusuuSL（1）用定义判别：存在，则收敛；否则发散2）正项级数(的审敛法： ①收敛有界（充要条件），满足②比较审敛法:11,nn nnuv 110, nnnn nnuvvu则收敛收敛11nn nnuv发散发散比较判别法的极限形式：0lim0,nnn nnnn nnnnnlluv uuvvuv vuuv        ，与敛散性相同发散发散，收敛收敛，发散发散，收敛收敛11lim111lim11nnnnnnuu u     时，级数收敛③根值审敛法：设：，则时，级数发散时，不确定时，级数收敛④比值审敛法：设：，则时，级数发散时，不确定1 lim0nnnnuu u（3）交错级数的审敛法— — 莱布尼兹定理：如果交错级数满足，那么级数收敛。

19.19.绝对收敛与条件收敛：绝对收敛与条件收敛：12123(1)(2)nnnuuuuuuuuLLLL，其中为任意实数；(2)(1)(1)(2)(1)(1)如果收敛，则肯定收敛，从而级数收敛且绝对收敛；如果发散，而收敛，则级数收敛且条件收敛 20.20.幂级数：幂级数：2311 (1); 11nxxxxxxx LL 当时，发散 4. n na xRxRxRxR对于级数，如果它不是仅在原点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必存在，使时收敛；时发散；时不确定1limnnnaRa21.21. 一些函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数：2111,(,).2!!xnexxxxn   LL3521 1sin( 1)()3!5!(21)!n nxxxxxxn    LL 242 cos1( 1),(,)2!4!(2 )!n nxxxxxn    LL；x11,) 1(132LLnnxxxx) 1 , 1(x)1ln(x,1) 1(! 3! 2132 LLnxxxxn n] 1 , 1(x,12) 1(51 31arctan12 53LLnxxxxxn n].1 , 1[x22.22.傅立叶级数：傅立叶级数：01( )(cossin)22nn naf xanxbnx，周期00011( )cos(0,1,2); ( )sin(1,2,3)2( )0( )sinn( )sin2( )0( )cos( )cos2nnnnnnnnaf xnxdxnbf xnxdxnf xabf xxdxf xbnxaf xbaf xnxdxf xanxLL其中 是奇函数, 则展开成正弦级数：， ，是偶函数，则展开成余弦级数：， ，23.微分方程的相关概念：微分方程的相关概念：(1)( , )( , )( , )0yf x yP x y dxQ x y dy 一阶微分方程： 或 ( )( ) 2( )( )( )( )( , )= ( )( )g y dyf x dxg y dyf x dxG yF xCdyxyduf x yuuudxyxdx①可分离变量的微分方程：1、、 得②齐次方程：1、写成，2、设，则一阶线性微分方程。