高等数学第1章第4节无穷小量与无穷大量教学讲义.ppt

无穷小量 无穷小量的比较 无穷大量,4 无穷小量与无穷大量,,,1.定义,极限为零的变量称为无穷小.,一、无穷小,例如,,注:,无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,零是可以作为无穷小的唯一的数.,注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,定理1.2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,证,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,定理1.3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小,2.无穷小与函数极限的关系:,证,必要性,充分性,例如,,极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,观察各极限,1.4.2 无穷小的比较,定义:,,,,,,,,例1,解,例2,解,常用等价无穷小:,用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,例如,,定理(等价无穷小替换定理),证,等价无穷小代换,例3,解,不能滥用等价无穷小代换.,对于代数和中各无穷小不能分别替换.,注意,例4,解,解,错,例5,解,例6,例7,1.无穷小的比较:,反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较.,2.等价无穷小的替换:,求极限的又一种方法, 注意适用条件.,高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.,小结,思考题,任何两个无穷小量都可以比较吗？,思考题解答,不能,例当 时,都是无穷小量,但,不存在,故当 时,绝对值无限增大的变量称为无穷大.,1.4.3 无穷大量,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注:,无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,不是无穷大,无界，,证,,定理5 在同一自变量变化过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,证,三、无穷小与无穷大的关系,意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.,1、主要内容:,两个定义;,2、几点注意:,无穷小与无穷大是相对于过程而言的.,（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；,（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.,（3） 无界变量未必是无穷大.,小结,A）无穷小；,B）无穷大；,C）有界但不是无穷小；,D）无界但不是无穷大。

选D.,1.4.4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系),定义,定理,证,例如,,注:函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.,例7,证,二者不相等,,。