2022年浙教版九级上册二次函数知识点总结及典型例题.docx

浙教版九年级上册二次函数学问点总结及典型例题学问点一、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念第 13 页,共 11 页一般地, 假如特 yax 2bx c〔a,b, c是常数, a0〕 ,特殊留意 a 不为零 ,那么 y 叫做 x 的二次函数；y ax 2bx c〔a,b, c是常数, a0〕 叫做二次函数的一般式；2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于 x抛物线的主要特点：b对称的曲线,这条曲线叫抛物线；2a①有开口方向；②有对称轴；③有顶点；3、二次函数图像的画法 -------- 五点作图法 ：（ 1）先依据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点 M ,并用虚线画出对称轴（ 2）求抛物线 yax 2 bxc 与坐标轴的交点：当抛物线与 x 轴有两个交点时,描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C,再找到点 C 的对称点 D；将这五个点按从左到右的次序连接起来,并向上或向下延长,就得到二次函数的图像；当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与 y 轴的交点 C 及对称点 D ；由 C、M、D 三点可粗略地画出二次函数的草图；假如需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点 A、 B,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像；2【例 1】、已知函数 y=x -2x-3 ,（ 1）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点,以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点；然后画出函数图象的草图；（ 2）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：（ 3）依据第（ 1）题的图象草图,说 出 x 取哪些值时,① y=0 ；② y<0 ；③ y>0学问点二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀 ----- 一般 两根 三顶点（ 1）一般 一般式： yax 2 bxc〔 a,b,c是常数, a 0〕（ 2）两根 当抛物线 yax 2bx c 与 x 轴有交点时,即对应的一元二次方程ax2bx c0 有实根 x1和x2 存在时,依据二次三项式的分解因式ax 2bx ca〔 xx1 〕〔 xx2 〕 ,二次函数 yax 2 bx c 可转化为两根式 ya〔 xx1 〕〔 xx2 〕 ；假如没有交点,就不能这样表示；a 的肯定值越大,抛物线的开口越小；（ 3）三顶点 顶点式： y我们最好设顶点式,这样最简洁；a〔xh〕2k 〔a, h, k是常数, a0〕 当题目中告知我们抛物线的顶点时,【例 1】、抛物线 yax 2bx c 与 x 轴交于 A （1,0）,B（ 3,0）两点,且过（ -1,16）,求抛物线的解析式；【例 2】、如图,抛物线 yax 2bx c 与 x 轴的一个交点 A 在点（ -2, 0）和（ -1, 0）之间（包括这两点） ,顶点 C 是矩形 DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点,就（ 1） abc 0 （＞或＜或 =）（ 2） a 的取值范畴是2 22 2【例 3】、以下二次函数中,图象以直线 x = 2 为对称轴,且经过点 〔0 ,1〕 的是 〔 〕 A． y = 〔 x - 2〕 + 1 B ． y = 〔 x + 2〕 + 1C． y = 〔 x - 2〕 - 3 D ．y = 〔 x + 2〕 - 3学问点三、二次函数的最值假如自变量的取值范畴是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值（或最小值） ,即当 x b 时,2a4ac b 2y最值 ；4 a假如自变量的取值范畴是x1 xx2 ,那么,第一要看b是否在自变量取值范畴2ax1 xx2 内,如在b 4 ac b 2此范畴内,就当 x=时, y最值 ；如不在此范畴内,就需要考虑函数在22a 4ax1 xx2 范畴内的增减性 , 如 果 在 此 范 围 内 , y 随 x 的 增 大 而 增 大 , 就 当 xx2 时 ,y最大ax2bx2c , 当 xx1 时 ,y最小ax2bx1c ；假如在此范畴内, y 随 x 的增大而减小, 就当 xx1 时, y最大ax 2bx1c ,当 x x21时, y最小ax 2bx2 c； y132【例 1】、已知二次函数的图像（ 0≤ x≤3）如下列图 ,关于该函数在所给自变量取值范畴内 ,以下说法正确选项 〔 〕A ．有最小值 0,有最大值 3 B ．有最小值－ 1,有最大值 0 OC．有最小值－ 1,有最大值 3 D．有最小值－ 1,无最大值 - 112 3 x【例 2】、某宾馆有 50 个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天 l80 元时,房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加 10 元时, 就会有一个房间闲暇． 宾馆需对游客居住的每个房间每天支出 20 元的各种费用． 依据规定,每个房间每天的房价不得高于 340 元．设每个房间的房价每天增加 x 元〔x 为 10 的正整数倍 〕．（ 1）设一天订住的房间数为 y,直接写出 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范畴；（ 2）设宾馆一天的利润为 w 元,求 w与 x 的函数关系式；（ 3）一天订住多少个房间时,宾馆的利润最大 . 最大利润是多少元 .学问点四、二次函数的性质1、二次函数的性质函数y ax 2二次函数bx c〔 a, b, c是常数, a 0〕a>0 a<0yy图像0 x 0 x（ 1）抛物线开口向上,并向上无限延长； （ 1）抛物线开口向下,并向下无限延长；（ 2）对称轴是 x=b,顶点坐标是（2ab , （ 2）对称轴是 x=2ab b,顶点坐标是（ ,2a 2 a4 ac b 2）；4a4ac b2）；4a（ 3）在对称轴的左侧,即当 x≤b时, y 随 x2a（ 3）在对称轴的左侧, 即当 x≤b时, y 随2a性质 的增大而减小；在对称轴的右侧,即当 x≥x 的增大而增大； 在对称轴的右侧, 即当 xb时, y 随 x 的增大而增大, 简记左减右2 a≥ b 时, y 随 x 的增大而减小,简记左2a增；（ 4）抛物线有最低点,当 x=b时, y 有最小2a增右减；（ 4）抛物线有最高点,当 x=b时, y 有最2a值, y最小值4ac b 24a大值,y最大值4ac b 24 a2、二次函数 yax 2bx c〔a, b,c是常数, a0〕 中,a、b、c 的含义：a 表示开口方向： a >0 时,抛物线开口向上a <0 时,抛物线开口向下b 与对称轴有关：对称轴为 x= b2ac 表示抛物线与 y 轴的交点坐标： （ 0, c ）3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 x 轴的交点横坐标；因此一元二次方程中的b 2 4ac ,在二次函数中表示图像与 x 轴是否有交点；当 >0 时,图像与 x 轴有两个交点； 当 =0 时,图像与 x 轴有一个交点；当 <0 时,图像与 x 轴没有交点；2【例 1】、抛物线 y=x -2 x-3 的顶点坐标是 .【例 2】、二次函数 yx 2 2x5 有〔 〕A． 最大值 5 B． 最小值 5 C． 最大值 6 D． 最小值 6【例 3】、由二次函数 y2〔 x3〕 21 ,可知（ ）A．其图象的开口向下 B ．其图象的对称轴为直线 x 3C．其最小值为 1 D ．当 x 3 时, y 随 x 的增大而增大【例 4】、已知函数 y〔 k 3〕 x 22x 1 的图象与 x 轴有交点,就 k 的取值范畴是 〔 〕A. k 4B. k 4C. k4 且 k 3D. k4 且 k 3【例 5】、以下函数中 , 当 x>0 时 y 值随 x 值增大而减小的是（ ）．2A． y = xB． y = x－１ C． y =3 124 x D． y = x【例 6】、如二次函数 y〔 x m〕1 ．当 x ≤ l 时, y 随 x 的增大而减小,就 m 的取值范畴是（ ）A ． m =l B ． m >l C ． m ≥l D ． m ≤ l学问点五、二次函数图象的平移① 对于抛物线 y=ax 2+bx+c 的平移通常先将一般式转化成顶点式2y a x hk ,再遵循 左加右减 ,上加下减 的的原就化为顶点式有两种方法：配方法,顶点坐标公式法；在用顶点坐标公式法求出顶点坐标后,在写顶点式时, 要减去顶点的横坐标,加上顶点的纵坐标；② y ax 2bx c 沿 y 轴平移：向上（下）平移 m （ m＞ 0）个单位, yax 2bx c 变成y ax 2bx cm （或 yax 2bx c m ）③ 当然,对于抛物线的一般式平移时,也可以不把它化为顶点式y ax 2bx c ：向左（右） 平移 m（ m＞ 0）个单位, yax 2bx c 变成 ya〔xm〕2b〔xm〕 c（或 ya〔 xm〕2b〔x m〕 c ）【例 1】、将抛物线y x2向左平移 2 个单位后,得到的抛物线的解析式是 〔 〕A ． y〔 x 2〕 2B ． y x2 2C ． y〔x 2〕2D ． y x2 22【例 2】、将抛物线 y=x － 2x 向上平移 3 个单位 , 再向右平移 4 个单位等到的抛物线是 .【例 3】、抛物线y x2 可以由抛物线 y x 2 23 平移得到 , 就以下平移过程正确选项 〔 〕A. 先向左平移2 个单位, 再向上平移3 个单位B. 先向左平移2 个单位, 再向下平移3 个单位C. 先向右平移2 个单位, 再向下平移。