2.4 圆的切线的性质及判定定理 （人教a版选修4-1）.doc

四弦切角的性质课标解读1.掌握弦切角定理，并能利用它解决有关问题．2.体会分类思想，运动变化思想和化归思想.1．弦切角顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．2．弦切角定理(1)文字语言叙述：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．(2)图形语言叙述：如图2－4－1，AB与⊙O切于A点，则∠BAC＝∠D.图2－4－11．怎样正确理解弦切角的定义？【提示】　弦切角的特点：(1)顶点在圆上；(2)一边与圆相交；(3)一边与圆相切．弦切角定义中的三个条件缺一不可．如图(1)(2)(3)(4)中的角都不是弦切角．图(1)中，缺少“顶点在圆上”的条件；图(2)中，缺少“一边和圆相交”的条件；图(3)中，缺少“一边和圆相切”的条件；图(4)中，缺少“顶点在圆上”和“一边和圆相切”两个条件．2．弦切角、圆周角、圆心角与它们所对应的弧有什么关系？【提示】　弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，圆心角的度数等于它所对弧的度数．3．运用弦切角定理解题时，一般怎样添加辅助线？【提示】　添加辅助线构成弦切角所夹的弧对应合适的圆周角，为解题提供条件．利用弦切角定理解决与角有关的问题　图2－4－2如图2－4－2，AB是半圆O的直径，C是圆周上一点(异于A、B)，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，垂足为D，AD交半圆于点E，求证：CB＝CE.【思路探究】　解答本题的关键是运用弦切角定理与圆周角定理的有关知识，进行角度的等量替换．【自主解答】　连接AC，BE，在DC延长线上取一点F，因为AB是半圆O的直径，C为圆周上一点，所以∠ACB＝90°，即∠BCF＋∠ACD＝90°又因为AD⊥l，所以∠DAC＋∠ACD＝90°所以∠BCF＝∠DAC又因为直线l是圆O的切线，所以∠CEB＝∠BCF，又∠DAC＝∠CBE，所以∠CBE＝∠CEB，∴CB＝CE.1．把证明线段相等转化为证明角的相等是弦切角定理应用的常见题目．2．利用弦切角定理进行计算、证明，要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意根据题目的需要可添加辅助线构成所需要的弦切角．　如图2－4－3，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，AC平分∠BAD.求证：AD⊥CD.图2－4－3【证明】　如图，连接BC.∵CD为⊙O的切线，∴∠ACD＝∠ABC.又AC为∠BAD的平分线，故∠BAC＝∠CAD，∴△ACD∽△ABC.∴∠ADC＝∠ACB.又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠ADC＝90°，即AD⊥CD.利用弦切角定理证明比例式或乘积式　如图2－4－4，PA、PB是⊙O的切线，点C在上，CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，垂足分别为D、E、F，求证：CD2＝CE·CF.图2－4－4【思路探究】　连接CA、CB，∠CAP＝∠CBA、∠CBP＝∠CAB→Rt△CAE∽Rt△CBDRt△CBF∽Rt△CAD→＝→结论【自主解答】　连接CA、CB.∵PA、PB是⊙O的切线．∴∠CAP＝∠CBA，∠CBP＝∠CAB.又CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，∴Rt△CAE∽Rt△CBD，Rt△CBF∽Rt△CAD，∴＝，＝，∴＝，即CD2＝CE·CF.1．解答本题的难点在于乘积式中的线段不在两个相似三角形中，需用中间量过渡．2．弦切角定理经常作为工具，进行三角形相似的证明，然后利用三角形相似进一步确定相应边之间的关系，在圆中证明比例式或等积式，常常需要借助于三角形相似处理．3．弦切角定理有时还与圆周角定理等知识综合运用，它们不但在证明方法上相似，在解题功能上也有相似之处，通常都作为辅助工具出现．　图2－4－9如图2－4－5，已知圆上的弧＝，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE·CD.【证明】　(1)∵＝，∴∠BCD＝∠ABC.又∵EC与圆相切于点C，∴∠ACE＝∠ABC.∴∠ACE＝∠BCD.(2)∵∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，∴△BDC∽△ECB，∴＝，即BC2＝BE·CD.(教材第34页习题2.4第2题)如图2－4－6，⊙O和⊙O′都经过A、B两点，AC是⊙O′的切线，交⊙O于点C，AD是⊙O的切线，交⊙O′于点D，求证：AB2＝BC·BD.图2－4－6(2013·课标全国卷Ⅰ)图2－4－7如图2－4－7，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【命题意图】　考查圆的几何性质、勾股定理及直角三角形的性质．结合图形和圆的几何性质求解，考查了数形结合能力和逻辑推理能力．【解】　(1)证明：如图，连接DE，交BC于点G.由弦切角定理，得∠ABE＝∠BCE，而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，所以BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为圆的直径，∠DCE＝90°.由勾股定理可得DB＝DC.(2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC边的中垂线，所以BG＝.设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG＝60°，从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于.1．如图2－4－8所示，MN与⊙O相切于点M，Q和P是⊙O上两点，∠PQM＝70°，则∠NMP等于(　　)图2－4－8A．20°　　　　　　　　　B．70°C．110° D．160°【解析】　根据弦切角定理：∠NMP＝∠PQM＝70°.【答案】　B图2－4－92．如图2－4－9，四边形ABCD是圆的内接四边形，AB是直径，MN是切圆于C点的切线，若∠BCM＝38°，则∠B＝(　　)A．32°　　　　　　　B．42°C．52° D．48°【解析】　如图，连接AC.∵∠BCM＝38°，MN是⊙O的切线，∴∠BAC＝38°，∵AB为⊙O的直径，∴∠B＝90°－38°＝52°.【答案】　C图2－4－103．如图2－4－10，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B＝65°，则∠BAC＝________.【解析】　∵OA＝OB，∠B＝65°，∴∠OAB＝65°.∴∠O＝50°.∴∠BAC＝∠O＝25°.【答案】　25°图2－4－114．已知如图2－4－11，AB为圆的直径，弦AC与AB成30°角，DC切圆于点C，AB＝5 cm，则BD等于________cm.【解析】　如图，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠A＝30°，AB＝5 cm，∴BC＝ cm，∠CBA＝60°，∵CD切⊙O于C，∴∠DCB＝∠A＝30°，∴∠D＝30°，∴BD＝BC＝ cm.【答案】　一、选择题1．如图2－4－12所示，AB是⊙O的直径，MN与⊙O切于点C，AC＝BC，则sin∠MCA＝(　　)图2－4－12A.　　　B.　　　C.　　　D.【解析】　由弦切角定理，得∠MCA＝∠ABC.∵sin∠ABC＝＝＝＝，故选D.【答案】　D图2－4－132．如图2－4－13所示，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为(　　)A．2 B．3C．2 D．4【解析】　连接BC.∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC，由弦切角定理可知，∠ACD＝∠ABC，∴△ABC∽△ACD，∴＝，∴AC2＝AB·AD＝6×2＝12，∴AC＝2，故选C.【答案】　C3．如图2－4－14，PC与⊙O相切于C点，割线PAB过圆心O，∠P＝40°，则∠ACP等于(　　)图2－4－14A．20° B．25° C．30° D．40°【解析】　如图，连接OC，∵PC切⊙O于C点，∴OC⊥PC，∵∠P＝40°，∴∠POC＝50°，连接BC，∵OC＝OB，∴∠B＝∠POC＝25°，∴∠ACP＝∠B＝25°.【答案】　B图2－4－154．如图2－4－15所示，已知AB、AC与⊙O相切于B、C，∠A＝50°，点P是⊙O上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是(　　)A．65°B．115°C．65°或115°D．130°或50°【解析】　当点P在优弧上时，由∠A＝50°，得∠ABC＝∠ACB＝65°.∵AB是⊙O的切线，∴∠ABC＝∠BPC＝65°.当P点在劣弧上时，∠BPC＝115°.故选C.【答案】　C二、填空题5．(2012·广东高考)图2－4－16如图2－4－16所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________.【解析】　利用弦切角定理及相似三角形求解．∵PB切⊙O于点B，∴∠PBA＝∠ACB.又∠PBA＝∠DBA，∴∠DBA＝∠ACB，∴△ABD∽△ACB.∴＝，∴AB2＝AD·AC＝mn，∴AB＝.【答案】　6.图2－4－17如图2－4－17，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝__________.【解析】　连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∵PB＝OB＝2，OC＝2，∴PC＝2，∵OC·PC＝OP·CD，∴CD＝＝.【答案】　三、解答题图2－4－187．如图2－4－18所示，△ABT内接于⊙O，过点T的切线交AB的延长线于点P，∠APT的平分线交BT、AT于C、D.求证：△CTD为等腰三角形．【证明】　∵PD是∠APT的平分线，∴∠APD＝∠DPT.又∵PT是圆的切线，∴∠BTP＝∠A.又∵∠TDC＝∠A＋∠APD，∠TCD＝∠BTP＋∠DPT，∴∠TDC＝∠TCD，∴△CTD为等腰三角形．8．(2012·辽宁高考)如图2－4－19，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E.证明：图2－4－19(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.【证明】　(1)由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB＝∠ADB，同理∠ACB＝∠DAB，所以△ACB∽△DAB.从而＝，即AC·BD＝AD·AB.(2)由AD与⊙O相切于A，得∠AED＝∠BAD.又∠ADE＝∠BDA，得△EAD∽△ABD.从而＝，即AE·BD＝AD·AB.综合(1)的结论知，AC＝AE.9．(2013·辽宁高考)如图2－4－20，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.图2－4－20证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC. 【证明】　(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EB。