高考数学第1轮总复习 全国统编教材 2.6反函数课件 理.ppt

第 讲6 反函数反函数反函数反函数第二章第二章 函数函数高高考考搜搜索索●反函数的定义及其求法反函数的定义及其求法●分段函数的反函数的求法分段函数的反函数的求法●互为反函数的函数图象间的关系互为反函数的函数图象间的关系●反函数的性质及应用高反函数的性质及应用高高高考考猜猜想想高高考考比比较较重重视视对对反反函函数数的的考考查查，，试试题题多多以以考考查查基基础础知知识识为为主主；；经经常常考考查查的的有有：：反反函函数数的的求求法法；；反反函函数数的的概概念念；；反反函函数数在在某某点点的的函函数数值值；；反反函函数数与与原原函函数数之之间间的的关关系系，，包包括括定定义义域域与与值值域域的的关关系系、、单单调调性性的的关关系系、、函函数数图图象的关系等象的关系等.•一、反函数的概念•1. 设函数y=f(x)的定义域为A，值域为C，由y=f(x)求出x=φ(y).如果对于C中每个y值，在A中都有唯一的值和它对应，那么x=φ(y)为以y为自变量的函数，叫做y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y).通常情况下，一般用x表示自变量，所以记作￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿. y=f-1(x)•2. 反函数的定义域和值域分别是原函数的￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿•￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿和￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿.•二、反函数的求解步骤•第一步从y=f(x)中求出x，•第二步￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿;•第三步确定y=f-1(x)的定义域，即原函数的￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿.值域值域定义域定义域交换交换x，，y的位置的位置值域值域•三、原函数与反函数图象间的关系•1.原函数与其反函数的图象关于￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿•￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿对称.•2. 若点P(a，b)在y=f(x)的图象上，则点•￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿在y=f-1(x)的图象上.直线直线y=x(b，，a)•四、反函数的性质•若y=f(x)的图象关于直线y=x对称，则y=f(x)的反函数是￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿.其自身其自身•五、两个重要结论•1. 若y=f(x)存在反函数，x∈A，y∈C，则f-1［f(x)］= ，f［f-1(x)］= .•2. 已知y=f(x)，求f-1(a)可以利用￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿，从中求出x，即f-1(a).xxf(x)=a•1.函数￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿的反函数是( )•A.y=(x-1)2 (1≤x≤3)•B. y=(x-1)2 (0≤x≤4)•C. y=x2-1 (1≤x≤3)•D. y=x2-1 (0≤x≤4)•￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿•￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿由•得x=(y-1)2，•且1≤y≤3，•所以其反函数是•y=(x-1)2(1≤x≤3)，•故选A.答案：答案：A•2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿则f(x)=( )•A.log2x•B. •C. •D. x2• f(x)=logax，•代入•解得•所以•故选B.答案：答案：B•3.函数￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿的反函数为自身的条件是( )•A.a=0,b=0•B. a=1,b∈R•C. a=1,b≠-1•D. a=-1,b=0••因为函数￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿的反函数为自身，•所以•则a=1，b≠-1.•故选C.答案：答案：C• •题题型一：反函数的求法型一：反函数的求法•1. 求下列函数的反函数.•(1)f(x)=x2-3x+2 (x≤1);•(2)f(x)= x2-1(0＜x≤1)• x2 (-1≤x＜0).• (1)由•得￿•因为x≤1，•所以•即•又当x≤1时，•所以y≥0，故•(2)当x∈(0，1］时，由y=x2-1，得x=y+1.•又0＜x2≤1，所以-1＜y≤0.•当x∈［-1，0)时，由y=x2，得x=-y，•又0＜x2≤1，所以0＜y≤1.•故f-1(x)= • •点评：求反函数的解析式应注意两点：一是先把解析式看为自变量的方程，在定义域范围内求得自变量；二是须求得反函数的定义域(也可求原函数的值域).•求下列函数的反函数.•(1) f(x)=x2-2x-1 (x≤0);•(2)• (1)由y=x2-2x-1=(x-1)2-2，•得(x-1)2=y+2.•因为x≤0，•所以•即•又当x≤0时，x-1≤-1，故(x-1)2≥1，•则y≥-1，•所以•(2)由•得•所以1-x2=(1-y)2，•即x2=2y-y2.•因为-1≤x＜0，所以•且y∈(0，1］.•所以• •题题型二：互型二：互为为反函数的函数反函数的函数图图象之象之间间的关系的关系•2. 已知函数￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿y=g(x)的图象与y=f-1(x+1)的图象关于直线y=x对称，•求￿￿￿￿￿￿￿￿的值.•￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿解法1：•(着力于寻求f-1(x+1)的解析式)•由已知得•所以•又由题设知g(x)的反函数为f -1(x+1)，•所以g-1(x)=f-1(x+1),•所以•令￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿，•则•所以由①②•得•解得b=-1，•所以•￿￿￿￿解法2:(利用正反函数值的转化)•令•则•又由题设知g(x)的反函数为f -1(x+1)，•所以g-1(x)=f-1(x+1).②•所以由①②得￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿所以•所以b+1=0，即b=-1,•故得•￿￿￿解法3:•(运用对复合函数的反函数的认知)•由题设知f-1(x+1)的反函数为g(x),•又f -1(x+1)的反函数为f(x)-1,•所以g(x)=f(x)-1,•所以•点评：互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称，即点(a，b)如果在原函数的图象上，则点(b，a)一定在它的反函数的图象上.•设函数•已知其反函数y=f-1(x)的图象关于点M(-1，3)成中心对称，•求实数a的值.•其对称中心为(a+1，-1).•因为f-1(x)的图象的对称中心M(-1，3)，•所以f(x)的图象的对称中心为(3，-1)，•即a+1=3，故a=2.• •￿￿￿￿￿￿题题型三：函数与其反函数的相互关系型三：函数与其反函数的相互关系•3. 已知f(x)是定义在R上的增函数，点A(-1，1)和B(1，3)在它的图象上，f -1(x)是它的反函数，那么不等式|f -1(log2x)|＜1的解集为( )•A. (2，8) B. (1，3)•C. (-1，1) D. 无法确定•￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿因为|f -1(log2x)|＜1，•所以-1＜f -1(log2x)＜1.•又因为f(x)为R上的增函数，•所以f(-1)＜f［f -1(log2x)］＜f(1)，•即1＜log2x＜3，得2＜x＜8，选A.•点评：互为反函数的两个函数有着类似的性质：如单调性、奇偶性.原函数与它的反函数的增减性相同；原函数如果是奇函数，则它的反函数也是奇函数.•￿设函数•已知f-1(x)=f(x)，•求m的值.•￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿因为f-1(x)=f(x)，•所以函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称.•显然f(5)=0，•所以点A(5，0)在y=f(x)的图象上，•从而点A(5，0)关于直线y=x的对称点(0，5)也在y=f(x)的图象上，•所以•此时，•由•得•所以•故m=-1为所求.•1. 求函数的反函数大致分三个步骤进行：首先由y=f(x)解出x=φ(y)；然后求出原函数f(x)的值域；最后将x，y互换，注明反函数的定义域，作出相应的结论.•2. 分段函数的反函数，可以分别求出各段函数的反函数再综合.•3. 与反函数有关的求值问题或不等式问题等，既可通过求反函数来解决，也可利用反函数的有关性质，将问题转化为原函数来解决.一般情况下，后者的解法比前者要简捷.。