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精品word)菱形证明专题训练绝密★启用前乐学教育菱形证明专题训练1 已知:如图，在四边形ABCD中,AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE=CF,DF∥BE，AC平分∠BAD.求证：四边形ABCD为菱形 【答案】∵AB∥CD， ∴∠BAE=∠DCF ∵DF∥BE, ∴∠BEF=∠DFE, ∴∠AEB=∠CFD 又∵AE=CF, ∴△AEB≌∠CFD， ∴AB=CD. ∵AB∥CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAF. 又∠BAE=∠DCF, ∴∠DAF=∠DCF， ∴AD=CD, ∴四边形ABCD是菱形.2. 如图，矩形ABCD中,点O为AC的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE,BO若∠COB=60°，FO=FC.  求证：(1)四边形EBFD是菱形；【答案】连接OD∵点O为矩形ABCD的对角线AC的中点, ∴B，D， O三点共线且BD=DO=CO=AO 在矩形ABCD中,AB∥DC，AB=DC，∴∠FCO=∠EAO 在△CFO和△AEO中, ∴△CFO≌△AEO，∴FO=EO 又∵BO=DO,∴四边形BEFD是平行四边形。

 ∵BO=CO，∠COB=60°， ∴△COB是等边三角形∴∠OCB=60° ∴∠FCO=∠DCB-∠OCB=30°. ∵FO=FC,∴∠FOC=∠FCO=30°. ∴∠FOB=∠FOC+∠COB=90°. ∴EF⊥BD.∴平行四边形EBFD是菱形.（2）MB∶OE=3∶2答案】∵BO=BC，∴点B段OC的垂直平分线上 　∵FO=FC,∴点F段OC的垂直平分线上 　∴BF是线段OC的垂直平分线   ∴∠FMO=∠OMB=90° ∴∠OBM=30°.∴OF=BF ∵∠FOC=30°，∴FM=OF. ∴BM=BF—MF=2OF—OF=OF 即FO=EO，∴BM∶OE=3∶2.3 如图,在△ABC中,∠ABC=90°，BD为AC边上的中线,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG，DF求证:四边形BGFD是菱形. 【答案】∵FG∥BD,BD=FG,∴四边形BGFD是平行四边形. ∵CF⊥BD,AG∥BD，∴CF⊥AG.又∵∠ABC=90°，点D是AC的中点,∴BD=DF=AC， ∴平行四边形BGFD是菱形 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连接OE。

 求证：OE=BC. 【答案】∵DE∥AC,CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形. ∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD，OB=OD, ∴∠BOC=∠COD=90°， ∴四边形OCED是矩形, ∴∠ODE=90°,∵OB=OD，∠BOC=∠ODE=90°, ∴BC=,OE=， ∵DE=OC. ∴OE=BC.5. ［2015·兰州中考，25] (9分)如图,四边形ABCD中，AB∥CD,AB≠CD，BD=AC. （1）求证：AD=BC;【答案】作BM∥AC，BM交DC的延长线于点M，则∠ACD=∠BMD.　　1分  ∵AB∥CD,BM∥AC, ∴四边形ABMC为平行四边形　　2分 ∴AC=BM. ∵BD=AC，∴BM=BD. ∴∠BDM=∠BMD. ∴∠BDC=∠ACD 在△BDC和△ACD中，  ∴△BDC≌△ACD.　　4分 ∴BC=AD.　　5分(2)若E，F,G，H分别是AB,CD,AC，BD的中点.求证：线段EF与线段GH互相垂直平分答案】连接EG，GF，FH，HE　　6分 ∵E,H为AB，BD的中点,∴EH=AD. 同理FG=AD，EG=BC，FH=BC. ∵BC=AD,∴EG=FG=FH=EH.　　8分 ∴四边形EGFH为菱形， ∴EF与GH互相垂直平分.　　9分6. ［2015·长春中考,18] （7分)如图，CE是△ABC外角∠ACD的平分线,AF∥CD交CE于点F,FG∥AC交CD于点G，求证:四边形ACGF是菱形. 【答案】因为AF∥CD,FG∥AC, 所以四边形ACGF是平行四边形①， 又因为∠ACE=∠ECG，∠ECG=∠AFC， 所以∠ACE=∠AFC，所以AC=AF②， 由①②得四边形ACGF是菱形。

7. ［2010·上海中考，23]已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD（如图所示），∠BAD的平分线AE交BC于点E，连结DE （1）在图中，用尺规作∠BAD的平分线AE(保留作图痕迹，不写作法),并证明四边形ABED是菱形；【答案】  ∵∠BAE＝∠DAE， ∠DAE＝∠BEA， ∴∠BAE＝∠BEA，AB＝BE＝AD， AD∥BE，∴四边形ABED的平行四边形，又AB＝AD， ∴四边形ABED为菱形(2)∠ABC＝60°，EC＝2BE,求证：ED⊥DC答案】过D作DF∥AE,则DF＝CF＝1, ∴∠C＝30°，而∠DEC＝60°, ∴∠EDC＝90°，∴ED⊥DC.8. ［2010·沈阳中考，19］如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于O，点E,F分别为边AB,AD的中点,连接EF，OE,OF，求证:四边形AEOF是菱形. 【答案】∵点E，F分别为AB，AD的中点 ∴AE＝AB，AF＝AD(2分)  又∵四边形ABCD是菱形 ∴AB＝AD ∴AE＝AF（4分) 又∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ∴O为BD的中点 ∴OE，OF是△ABD的中位线(6分） ∴OE∥AD，OF∥AB ∴四边形AEOF是平行四边形(8分） ∵AE＝AF ∴四边形AEOF是菱形（10分）9.  [2010·安徽中考，20］如图，AD∥FE，点B,C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC. (1）求证：四边形BCEF是菱形；【答案】∵AD∥FE,∴∠FEB＝∠2. ∵∠1＝∠2，∴∠FEB＝∠1. ∴BF＝EF ∵BF＝BC，∴BC＝EF。

 ∴四边形BCEF是平行四边形 ∵BF＝BC, ∴四边形BCEF是菱形（5分）(2)若AB＝BC＝CD，求证：△ACF≌△BDE答案】∵EF＝BC，AB＝BC＝CD，AD∥FE, ∴四边形ABEF、四边形CDEF均为平行四边形，∴AF＝BE，FC＝ED8分） 又∵AC＝2BC＝BD，(9分） ∴△ACF≌△BDE10分)10 ［2013·长沙中考，24］如图，在▱ABCD中，M,N分别是AD，BC的中点，∠AND＝90°，连接CM交DN于点O. (1)求证:△ABN≌△CDM;【答案】∵∠ABN＝∠CDM，AB＝CD， BN＝BC＝AD＝DM， ∴△ABN≌△CDM(SAS).(2）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE＝1,∠1＝∠2，求AN的长答案】∵M,O分别为AD，ND的中点， ∴AN∥MO且AN＝2MO, ∴∠MOD＝∠AND＝90°，即平行四边形CDMN是菱形， 在Rt△MOD与Rt△NEC中, ∵∠1＝∠2，MD＝NC，∴Rt△MOD≌Rt△NEC， ∴MO＝NE 根据菱形的性质可知，∠MND＝∠CND，∠1＝∠CND，所以∠MND＝∠CND＝∠2＝30°，所以在Rt△ENP中NE＝PE÷tan30°＝, 即AN＝2.11。

如图，在△ABC中，∠A=90°，AH⊥BC于点H，∠B的平分线交AC于点D,交AH于点E,DF⊥BC于点F,求证:四边形AEFD是菱形 【答案】∵∠ABD=∠FBD,BD=BD，∠BAD=∠DFB=90°， ∴△ABD≌△FBD，∴AD=DF,AB=FB 又∠ABE=∠FBE，BE=BE, ∴△ABE≌△FBE ∴∠BAE=∠BFE 又∠BAE=90°-∠ABC=∠C， ∴∠BFE=∠C,∴EF∥AD ∵DF⊥BC，AH⊥BC，∴AE∥DF ∴四边形AEFD是平行四边形 又AD=DF,∴四边形AEFD是菱形12. ［2012·南宁中考，25]如图,已知矩形纸片ABCD,AD＝2,AB＝4，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB,CD交于点G,F，AE与FG交于点O.  图1图2(1）如图1,求证：A，G，E,F四点围成的四边形是菱形；【答案】证法一:  证明：在矩形ABCD中，CD∥AB ∴∠1＝∠3(1分） 由折叠可知:AG＝EG，∠1＝∠2 ∴∠2＝∠3 ∴EF＝EG（2分） ∴EF＝AG ∴四边形AGEF是菱形(3分) 证法二： 证明：连接AF,由折叠可知  OA＝OE,AG＝EG（1分） 在矩形ABCD中，AB∥CD ∴∠AEF＝∠EAG ∵∠AOG＝∠EOF ∴△AOG≌△EOF（ASA)（2分) ∴AG＝EF ∴四边形AGEF是菱形(3分)(2)如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证，点N是线段BC的中点；【答案】证明：连接ON,O是Rt△ADE外接圆圆心。

  ∵⊙O与BC相切于点N ∴ON⊥BC（4分) 在矩形ABCD中,DC⊥BC,AB⊥BC ∴CD∥ON∥AB ∴＝（5分） ∵OA＝OE　∴CN＝NB 即N为BC的中点（6分)(3)如图2,在第2问的条件下，求折痕FG的长.【答案】解法一： 过点O作OM⊥AB于点M，则四边形OMBN是矩形  设⊙O半径为x,则OA＝OE＝ON＝x（7分） ∵AB＝4，AD＝2　∴AM＝4－x 由第2问得,NB＝OM＝1 在Rt△AOM中，OA2＝AM2＋OM2 ∴x2＝(4－x）2＋12　∴x＝（8分) AM＝4－＝ ∵∠FEO＝∠OAM 又∵∠FOE＝∠OMA＝90° ∴Rt△EFO∽Rt△AOM ∴＝　∴＝(9分) ∴OF＝　∴FG＝2OF＝（10分） 解法二： 延长NO交AD于点M  ∴四边形ABNM是矩形 ∴AM＝BN＝AD＝1 ∵O为Rt△ADE外接圆圆心 ∴OA＝OE＝ON 设ON为x，则OM＝4－x(7分) 在Rt△AMO中,AM2＋OM2＝OA2 即12＋(4－x)2＝x2 x＝（8分） ∴OM＝4－＝ ∵FG⊥AE,MN∥DC　∴∠FEO＝∠MOA　∠AMO＝∠EOF＝90° ∴△EOF∽△OMA ∴＝　∴＝(9分） ∴OF＝　FG＝2OF＝(10分）13。

［2013·葫芦岛中考,20] (本小题满分8分） 如图，四边形ABCD中，AD∥BC,BA⊥AD,BC=DC,BE⊥CD于点E. (1）求证:△ABD≌△EBD;【答案】如图，  ∵AD∥BC, ∴∠1=∠DBC. ∵BC=DC,∠2=∠DBC ∴∠1=∠2　　2分 又∵∠BAD=∠BED=90°, BD=BD,∴△ABD≌△EBD.　　4分(2)过点E作EF∥DA,交BD于点F，连接AF求证:四边形AFED是菱。