2022年高考复习第九章解析几何圆的方程.pdf

9.3圆的方程1.圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆. 2.确定一个圆最基本的要素是圆心和半径. 3.圆的标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)，其中 (a，b)为圆心， r 为半径 . 4.圆的一般方程x2y2DxEyF0 表示圆的充要条件是D2E24F0，其中圆心为D2，E2，半名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - 径 rD2E24F2. 5.确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r 或 D、E、F 的方程组；(3)解出 a、b、 r 或 D、E、 F 代入标准方程或一般方程. 6.点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种. 圆的标准方程 (xa)2 (yb)2r2，点 M (x0，y0) (1)点在圆上： (x0a)2(y0 b)2r2；(2)点在圆外： (x0a)2(y0 b)2r2；(3)点在圆内： (x0a)2(y0 b)20. () 2.若点 (1,1)在圆 (xa)2(ya)24 的内部，则实数a 的取值范围是() A.1a1 B.0a1 或 a1 D.a 1 答案A 解析因为点 (1,1)在圆的内部，(1a)2(1a)24，1a0，圆心坐标为12，3，半径 r52. 12 分 方法二如图所示，设弦PQ 中点为 M，O1M PQ，MOk12. 2 分 O1M 的方程为y32 x12，即 y2x 4. 4 分 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 19 页 - - - - - - - - - 由方程组y2x4x2y30. 解得 M 的坐标为 (1,2). 6 分 则以 PQ 为直径的圆可设为(x1)2(y2)2r2. OPOQ，点 O 在以 PQ 为直径的圆上 . (01)2(02)2 r2，即 r25， |MQ|2r2. 在 RtO1MQ 中， |O1Q|2|O1M|2 |MQ|2. 1 624m4 1212 (32)25. m3. 9 分 半径为52，圆心坐标为12， 3 . 12 分 方法三设过 P、Q 的圆系方程为x2y2x6ym (x2y3)0. 2 分 由 OPOQ 知，点 O(0,0)在圆上 . m3 0，即 m3 . 4 分 圆系方程可化为x2y2x6y3 x2y3 0. 即 x2(1 )xy22( 3)y 0. 6 分 圆心 M12，2 3 2，又圆心在PQ 上. 122(3 ) 30， 1，m3. 9 分 圆心坐标为12，3 ，半径为52. 12 分 温馨提醒(1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算. (2)本题中三种解法都是用方程思想求m 值，即三种解法围绕“列出m 的方程”求m 值. (3)本题的易错点：不能正确构建关于m 的方程，找不到解决问题的突破口，或计算错误. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 19 页 - - - - - - - - - 方法与技巧1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数. 2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算. 失误与防范1.求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程. 2.过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况 . A 组专项基础训练(时间： 40 分钟 ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 19 页 - - - - - - - - - 一、选择题1.设圆的方程是x2y22ax2y(a1)20，若 0a1，则原点与圆的位置关系是() A.原点在圆上B.原点在圆外C.原点在圆内D.不确定答案B 解析将圆的一般方程化成标准方程为(xa)2(y1)22a，因为 0a0，即0 a2 0122a，所以原点在圆外. 2.若圆 x2y22ax3by0 的圆心位于第三象限，那么直线xayb0 一定不经过 () A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案D 解析圆 x2y22ax3by0 的圆心为a，32b ，则 a0.直线 y1axba，k1a0，ba0，直线不经过第四象限. 3.圆心在 y 轴上，半径为1，且过点 (1,2)的圆的方程为() A.x2(y2)21 B.x2(y2)21 C.(x1)2(y3)21 D.x2(y3)21 答案A 解析设圆心坐标为(0， b)，则由题意知012 b22 1，解得 b 2，故圆的方程为x2(y2)21. 4.点 P(4， 2)与圆 x2y24 上任一点连线的中点的轨迹方程是() A.(x2)2(y1)21 B.(x2)2(y1)24 C.(x4)2(y2)24 D.(x2)2(y1)21 答案A 解析设圆上任一点坐标为(x0，y0)，x20y204，连线中点坐标为(x，y)，则2xx042yy02?x02x4y02y2，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 19 页 - - - - - - - - - 代入 x20y204 中得 (x2)2 (y 1)21. 5.若直线 ax2by 20(a0，b0)始终平分圆x2y24x2y80 的周长，则1a2b的最小值为() A.1 B.5 C.42 D.322 答案D 解析由题意知圆心C(2,1)在直线 ax2by 20 上，2a 2b20，整理得ab1，1a2b(1a2b)(ab)3ba2ab32 ba2ab3 2 2，当且仅当ba2ab，即 b22，a2 1 时，等号成立 . 1a2b的最小值为322. 二、填空题6.如果直线l 将圆 C：(x 2)2(y3)213 平分，那么坐标原点O 到直线l 的最大距离为_. 答案13 解析由题意，知直线l 过圆心 C(2， 3)，当直线 OCl 时，坐标原点到直线l 的距离最大，|OC|22 3213. 7.若方程 x2 y22x2my2m26m90 表示圆， 则 m 的取值范围是_；当半径最大时，圆的方程为_. 答案2m0，2m0，即 a5. 又圆关于直线y2xb 成轴对称，2 2b，b 4.aba40 矛盾 . 所以x 6，y 8舍去 .即AB(6,8). (2)圆 x26xy22y0，即(x3)2(y1)2(10)2，其圆心为C(3， 1)，半径 r10，OBOAAB(4， 3) (6,8)(10,5)，直线 OB 的方程为 y12x. 设圆心 C(3， 1)关于直线y12x 的对称点的坐标为(a，b)，则b1a3 2，b1212a32，解得a1，b3，所求的圆的方程为(x 1)2(y3)2 10. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 19 页 - - - - - - - - - 。