第07讲 一元二次方程（易错点梳理+微练习）（解析版）-【学霸计划】2022年中考数学大复习（知识点易错点题型训练压轴题组）.docx

第07讲 一元二次方程易错点梳理易错点梳理易错点01 忽略一元二次方程中这一条件在解与一元二次方程定义有关的问题时，一定要注意一元二次方程的二次项系数不等于0这一条件易错点02 利用因式分解法解一元二次方程时出错（1）对因式分解法的基本思想理解不清，没有将方程化为两个一次因式相乘的形式；（2）在利用因式分解法解一元二次方程时忽略另一边要化成0；（3）产生丢根的现象，主要是因为在解方程时，出现方程两边不属于同解变形，解题时要注意方程两边不能同时除以一个含有未知数的项易错点03 利用公式法解方程时未将方程化为一般形式在运用公式法解方程时，一定要先将方程化为一般形式，从而正确的确定，然后再代入公式易错点04 根的判别式运用错误运用根的判别式判断一元二次方程的根的情况时，必须先把方程化为一般形式，正确的确定易错点05 列方程解应用题时找错等量关系列方程解应用题的关键是找对等量关系，根据等量关系列方程例题分析考向01 一元二次方程的有关概念例题1：（2021·山东聊城·中考真题）关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（ ）A．2或4 B．0或4 C．﹣2或0 D．﹣2或2【答案】B【思路分析】把x=-2代入方程即可求得k的值；【解析】解：将x=-2代入原方程得到：，解关于k的一元二次方程得：k=0或4，故选：B．【点拨】此题主要考查了解一元二次方程相关知识点，代入解求值是关键．例题2：（2021·贵州遵义·中考真题）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　）A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0【答案】B【思路分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案.【解析】解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，所以此时方程为： 即： 小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，所以此时方程为： 即： 从而正确的方程是： 故选：【点拨】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键.考向02 一元二次方程的解法例题3：（2013·浙江丽水·中考真题）一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】将两边开平方，得，则则另一个一元一次方程是．故选D．例题4：（2021·内蒙古赤峰·中考真题）一元二次方程，配方后可形为（ ）A． B．C． D．【答案】A【思路分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程作边写成完全平方形式即可【解析】解：x2-8x=2，x2-8x+16=18，（x-4）2=18．故选：A．【点拨】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．考向03 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例题5：（2021·广西河池·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．实数根的个数由m的值确定【答案】A【思路分析】先确定a、b、c的值，计算的值进行判断即可求解．【解析】解：由题意可知：a=1，b=m，c=-m-2，∴，∴方程有两个不相等实数根．故选A.【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式，是常见考点，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根，熟记判别式并灵活应用是解题关键．例题6：（2021·山东济宁·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【答案】B【思路分析】根据一元二次方程根的定义得到，则，再利用根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．【解析】解：∵m是一元二次方程的实数根，∴，∴，∴，∵m、n是一元二次方程的两个实数根，∴，∴，故选：B．【点拨】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程的解．考向04 列一元二次方程解应用题例题7：（2021·山东滨州·中考真题）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．（1）求该商品每次降价的百分率；（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？【答案】（1）10%；（2）6件【思路分析】（1）根据某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同，可设每次降价的百分率为x，从而可以列出方程60（1-x）2=48.6，然后求解即可；（2）根据题意和（1）中的结果，可以列出相应的不等式，然后即可求得第一次降价出售的件数的取值范围，再根据件数为整数，即可得到第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价．【解析】解：（1）设该商品每次降价的百分率为x，60（1-x）2=48.6，解得x1=0.1，x2=1.9（舍去），答：该商品每次降价的百分率是10%；（2）设第一次降价售出a件，则第二次降价售出（20-a）件，由题意可得，[60（1-10%）-40]a+（48.6-40）×（20-a）≥200，解得a≥，∵a为整数，∴a的最小值是6，答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价．【点拨】本题考查一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系和不等关系，列出相应的方程和不等式，第一问是典型的的下降率问题，是中考常考题型．例题8：（2021·山西·中考真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．【答案】5【思路分析】根据日历上数字规律得出，圈出的四个数最大数与最小数的差值为8，设最小数为，则最大数为，结合已知，利用最大数与最小数的乘积为65列出方程求解即可．【解析】解：设这个最小数为．根据题意，得．解得，（不符合题意，舍去）．答：这个最小数为5．【点拨】此题主要考察了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握日历的特征，根据已知得出的最大数与最小数的差值是解题的关键．微练习一、单选题1．（2021·福建·厦门一中三模）对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的有（ ）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】解：①若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：Δ=b2-4ac≥0，故①正确；②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，∴Δ=0-4ac＞0，∴-4ac＞0则方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac＞0，∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则ac2+bc+c=0，∴c（ac+b+1）=0，若c=0，等式仍然成立，但ac+b+1=0不一定成立，故③不正确；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则由求根公式可得：x0=，∴2ax0+b=±，∴b2-4ac=（2ax0+b）2，故④正确．故正确的有①②④，故选：C．2．（2021·黑龙江牡丹江·模拟预测）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ）A．0 B．±3 C．3 D．－3【答案】D【分析】解：∵，∴，由题意得：m－3≠0且m2－9＝0，解得：m＝－3，故选：D．3．（2021·广西玉林·一模）关于x的一元二次方程：的解与方程的解相同，则（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】解方程,分解因式，得 将代入，得．故选D.4．（2021·河南涧西·三模）定义，例如，若方程的一个根是，则此方程的另一个根是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】解：∵∴∵方程的一个根是，设另一个根为，则有： 解得， ，故选：C5．（2021·广东·惠州一中一模）若，为方程的两根，则的值为（ ）A．1 B． C． D．3【答案】D【分析】解：，为方程的两根，．故选D．6．（2021·广东·西南中学三模）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）A．2x2﹣4x+3＝0 B．x2+4x﹣1＝0 C．x2﹣2x＝0 D．3x2＝5x﹣2【答案】A【分析】解：A、Δ＝（﹣4）2﹣4×2×3＝﹣4＜0，则方程没有的实数根，所以A选项符合题意；B、Δ＝42﹣4×1×（﹣1）＝20＞0，则方程两个不相等的实数根，所以B选项不符合题意；C、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意；D、Δ＝（﹣5）2﹣4×3×2＝1＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项不符合题意．故选：A．7．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）抛物线与坐标轴有且仅有两个交点，则的值为（ ）A．3 B．2 C．2或 D．2或3【答案】D【分析】解：由题意得，当抛物线与y轴有1个交点，与x轴只有1个交点时，则解得当图象过原点并和x轴有2个交点时，则0= a−2故选：D．8．（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）直线经过第一、三、四象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都有可能【答案】C【分析】解：直线经过第一、三、四象限，∴a＜0，∴△，方程有两个不相等的实数根．故选：C．9．（2021·四川省宜宾市第二中学校一模）受新冠影响，某股份有限公司在2020年3月份销售口罩的核心材料熔喷无纺布的收入为2.88万元，而在1月份的销售收入仅为2万元，那么该股份有限公司在2020年第一季度的销售收入月增长率为（ ）A．0.2% B．－2.2% C．20% D．220%【答案】C【分析】解：设第一季度的销售收入月增长率为x，由题意得2（1+x）2＝2.88，解得：x1＝20%，x2＝-2.2（不合实际舍去）．答：第一季度的销售收入月增长率为20%．故选C．10．（2021·安徽·合肥市第四十五中学三模）每年春秋季节流感盛行，极具传染性如果一人得流感，不加干预，则经过两轮后共有81人得流感，则每人每轮平均会感染几人？设每人每轮平均感染人，则下列方程正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】设每人每轮平均感染人，由题意得，x（x+1）+x+1=81，即．故答案为：．11．（2021·黑龙江佳木斯·三模）商场购。