2022年八年级数学直角三角形.docx

学习必备 欢迎下载直角三角形一，直角三角形的性质重点 ：直角三角形的性质定理及其推论：①直角三角形的性质,在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半 ;②推论：（ 1）在直角三角形中,假如一个锐角等于 30°,就它所对的直角边等于斜边的一半 ;（2）在直角三角形中,假如一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角为 30° .难点：1. 性质定理的证明方法 .2. 性质定理及其推论在解题中的应用 .二，直角三角形全等的判定重点： 把握直角三角形全等的判定定理：斜边，直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（ HL ）难点：创建全等条件与三角形中各定理联系解综合问题.三，角平分线的性质定理1. 角平分线的性质定理 ：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 . B D定理的数学表示：如图 4,E∵ OE 是∠ AOB的平分线, F 是 OE上一点,且 CF⊥OA于点 C, DF⊥ OB于点 D, F∴ CF＝ DF.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载定理的作用：①证明两条线段相等.②用于几何作图问题. 角是一个轴对称图形,它的对称轴是角平分线所在的直线 .2. 关于三角形三条角平分线的定理：（ 1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等 .定理的数学表示： 如图 6,假如 AP，BQ，CR分别是△ ABC的内角∠ BAC，∠ ABC ，∠ ACB的平分线,那么：B① AP，BQ， CR相交于一点 I .O 图4 C AAR FI QE图 6 P D C可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载② 如 ID ，IE ，IF 分别垂直于 BC，CA， AB于点 D，E，F,就 DI ＝EI ＝ FI.定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等.②用于实际中的几何作图问题 .（ 2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点确定在三角形的内部 . 这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心） .3. 关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（ 1）会作已知线段的垂直平分线. （2）会作已知角的角平分线.（ 3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简洁综合问题的图形 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载学习必备 欢迎下载四，勾股定理的证明及应用１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.表示方法：假如直角三角形的两直角边分别为 a , b ,斜边为 c ,那么 a 2 b 2 c 2勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦．早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了 “勾三,股四,弦五 ”形式的勾股定理,后来人们进一步发觉并证明白直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２ .勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有间隙,面积不会转变②依据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理常见方法如下：可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载方法一： 4S S S, 4 1 ab2〔b a 〕2Cc ,化简可证．可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载正方形 EFGH正方形 ABCD D2H可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载E G方法二： Fb a可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方A c Bb a可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载1 2 22 2 2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载形面积的和为 S4 ab c 22ab c 大正方形面积为 S〔a b〕a 2ab bac c b可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载所以2 2 2a b c 方法三：S梯形1 〔 a b〕 〔a b〕 ,2S梯形2S ADES ABE2 1 ab 1 c22 2,化简得证 b ccaa b可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载３ .勾股定理的适用范畴 A a D勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系, 它只适用于直角三角形, 对于锐角三角形c b和钝角三角形的三边就不具有这一特点, 因而在应用勾股定理时, 必需明白所考察的对象是直角三角形 c Ea４ .勾 股 定 理 的 应 用 ① 已知直 角 三 角 形的 任 意两 边长 , 求 第 三边 在 ABC 中 , C 90 , 就 B b C可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载c a2b 2 , b c 2a 2 , a c 2b2 ②知道直角三角形一边, 可得另外两边之间的数量关系③可可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载运用勾股定懂得决一些实际问题５ .勾股定理的逆定理假如三角形三边长 a , b , c 中意 a2 b2c2 ,那么这个三角形是直角三角形,其中 c 为斜边可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载222①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过 “数转化为形 ”来确定三角形的可可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载能形状,在运用这确定理时,可用两小边的平方和a b 与较长边的平方c 作比较,如它们相等时,以 a , b , c 为三可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载边的三角形是直角三角形.如a2 b2c2 ,时,以 a , b , c 为三边的三角形是钝角三角形.如a2 b2c 2 ,时,以 a ,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载b , c 为三边的三角形是锐角三角形.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载②定理中 a ,b ,c 及 a2b2 c 2 只是一种表现形式, 不行认为是唯独的, 如如三角形三边长 a ,b ,c 中意 a2c2 b2 ,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载那么以 a , b , c 为三边的三角形是直角三角形,但是 b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形６ .勾股数可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即一组勾股数a2 b 2c 2 中, a , b , c 为正整数时,称 a , b , c 为可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如 3,4,5 . 6,8,10 . 5,12,13 . 7,24,25 等③用含字母的代数式表示 n 组勾股数：可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载22n 1,2n,n1（ n2, n 为正整数）.学习必备 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载2n 1,2n22n,2 n22n 1 （ n 为正整数） m2n 2 ,2 mn,m2n2 （ m n,m , n 为正整数）可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载７．勾股定理的应用勾股定理能够帮忙我们解决直角三角形中的边长的运算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时,必需把握直角三角形的前提条件,明白直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行运算,应设法添加帮忙线（通常作垂线） ,构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解． ８ .．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮忙我们通过三角形三边之间的数量关系判定一个三角形是否是直角三角形, 在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不行不加摸索的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９ .勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不行分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决．常见图形：C CC30°A B A D B B D A10，互逆命题的概念假如一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题.假如把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边.（2）已知直角三角形的一边,求另两边的关系.（3）用于证明线段平方关系的问题.（4）利用勾股定理,作出长为 n 的线段勾股定理经典例题透析 C类型一：勾股定理的直接用法1，在 Rt△ ABC 中,∠ C=90 ° B D A〔1〕已知 a=6, c=10,求 b, 〔2〕 已知 a=40, b=9,求 c. 〔3〕 已知 c=25, b=15,求 a.思路点拨 : 写解的过程中,确定要先写上在哪个直角三角形中,留意勾股定理的变形使用.解析： 〔1〕 在△ ABC 中,∠ C=90 °, a=6, c=10,b=〔2〕 在△ ABC 中,∠ C=90°, a=40, b=9,c= 〔3〕 在△ ABC 中,∠ C=90°, c=25, b=15,a=举一反三【变式】 :如图∠ B=∠ ACD=90 ° , AD =13,CD =12, BC=3,就 AB 的长是多少 .【答案】∵∠ ACD =90 ° AD = 13, CD=12∴ AC 2 =AD 2－CD 2=13 2－ 122=25∴ AC=5又∵∠ ABC=90 °且 BC=3∴由勾股定理可得可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载学习必备 欢迎下载AB 2= AC 2－BC2=52－ 32=16∴ AB= 4∴ AB 的长是 4.类型二：勾股定理的构造应用2，如图,已知：在 中, , , . 求： BC 的长 .思路点拨 ：由条件 ,想到构造含 角的直角三角形,为此作 于 D,就有, ,再由勾股定理运算出 AD ，DC 的长,进而求出 BC 的长.解析 ：作 于 D,就因 ,∴ （ 的两个锐角互余）∴ （在 中,假如一个锐角等于 。